Гипергеометрическое распределение

Гипергеометрическое распределение

Функция вероятности Функция вероятности для $n=20$; $M=20, N=30$ (голубой), $M=50, N=60$ (зелёный) и $M=20, N=60$ (красный)
Функция распределения
Обозначение	$\mathrm{HG}(D,n,N)\,$
Параметры	$N\in 0,1,2,3...\,$ $D\in 0,1,...,N\,$ $n\in 0,1,...,N\,$
Носитель	$k \in 0,1,...,n\,$
Функция вероятности	${{{D \choose k} {{N-D} \choose {n-k}}}\over {N \choose n}}$
Функция распределения
Математическое ожидание	$nD\over N$
Медиана
Мода	$\left\lfloor\frac{(D+1)(n+1)}{N+2}\right\rfloor$
Дисперсия	$n(D/N)(1-D/N)(N-n)\over (N-1)$
Коэффициент асимметрии	$\frac{(N-2D)(N-1)^\frac{1}{2}(N-2n)}{[nD(N-D)(N-n)]^\frac{1}{2}(N-2)}$
Коэффициент эксцесса	$\left[\frac{N^2(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}\right]\times$ $\times \left[\frac{N(N+1)-6N(N-n)}{D(N-D)}+ \frac{3n(N-n)(N+6)}{N^2}-6\right]$
Информационная энтропия
Производящая функция моментов	$\frac{{N-D \choose n}}{{N \choose n}}\,_2F_1(-n,-D;N-D-n+1;e^{t})$
Характеристическая функция	$\frac{{N-D \choose n}}{{N \choose n}}\,_2F_1(-n,-D;N-D-n+1;e^{it})$

Гипергеометри́ческое распределе́ние в теории вероятностей моделирует количество удачных выборок без возвращения из конечной совокупности.

Пример

	вытянутые	не вытянутые	всего
с дефектом	k	D − k	D
без дефекта	n − k	N + k − n − D	N − D
всего	n	N − n	N

Типичный пример представлен вышестоящей таблицей: осуществлена поставка из N объектов, из которых D имеют дефект. Гипергеометрическое распределение описывает вероятность того, что в выборке из n различных объектов, вытянутых из поставки, ровно k объектов являются бракованными.

В общем, если случайная величина X соответствует гипергеометрическому распределению с параметрами N, D и n, то вероятность получения ровно k успехов определяется формулой:

$f(k;N,D,n) = {{{D \choose k} {{N-D} \choose {n-k}}}\over {N \choose n}}$

Эта вероятность положительна когда k лежит в промежутке между max{ 0, D + n − N } и min{ n, D }.

Приведенная формула может трактоваться следующим образом: существует $N \choose n$ возможных выборок(без возвращения). Есть $D \choose k$ способов выбрать k бракованных объектов и ${N-D} \choose {n-k}$ способов заполнить остаток выборки объектами без дефектов.

В случае, когда размер популяции является большим по сравнению с размером выборки(т.е., N намного больше чем n) гипергеометрическое распределение хорошо аппроксимируется биномиальным распределением с параметрами n (количество испытаний) и p = D / N (вероятность успеха в одном испытании).

Определение

Пусть имеется конечная совокупность, состоящая из $N$ элементов. Предположим, что $D$ (defective) из них обладают нужным нам свойством. Оставшиеся $N-D$ этим свойством не обладают. Случайным образом из общей совокупности выбирается группа из $n$ элементов. Пусть $Y$ - случайная величина, равная количеству выбранных элементов, обладающих нужным свойством. Тогда функция вероятности $Y$ имеет вид:

$p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y = k) = \frac{C_D^k\, C_{N-D}^{n-k}}{C_N^n}$,

где $C_n^k \equiv \frac{n!}{k!\, (n-k)!}$ обозначает биномиальный коэффициент. Пишем: $Y \sim \mathrm{HG}(D,N,n)$.

Моменты

$\mathbb{E}[Y] = \frac{nD}{N}$,

$\mathrm{D}[Y] = {n(D/N)(1-D/N)(N-n)\over (N-1)}$.

Пример применения

Классическим применением гипергеометрического распределения является выборка без возвращения. Рассмотрим урну с двумя типами шаров: черными и белыми. Определим вытягивание белого шара как успех, а черного как неудачу. Если N является числом всех шаров в урне и D является числом белых шаров, то N − D является числом черных шаров.
Теперь предположим, что в урне находятся 5 белых и 45 черных шаров. Стоя рядом с урной, вы закрываете глаза и вытаскиваете 10 шаров. Какова вероятность p (k=4) вытянуть 4 белых шара (и, соответственно, 6 черных шаров) ?

Задача описывается следующей таблицей:

	вытянутые	не вытянутые	всего
белые шары	4 (k)	1 = 5 − 4 (D − k)	5 (D)
чёрные шары	6 = 10 − 4 (n − k)	39 = 50 + 4 − 10 − 5 (N + k − n − D)	45 (N − D)
всего	10 (n)	40 (N − n)	50 (N)

Вероятность Pr (k = x) того, что будут вытянуты ровно x белых шаров (= количество успехов), может быть посчитана с помощью формулы:

$\Pr(k=x) = f(k;N,D,n) = {{{D \choose k} {{N-D} \choose {n-k}}}\over {N \choose n}}.$

Отсюда, в нашем примере (x = 4), получим:

$\Pr(k=4) = f(4;50,5,10) = {{{5 \choose 4} {{45} \choose {6}}}\over {50 \choose 10}} = 0.003964583\dots.$

Таким образом, вероятность вытянуть ровно 4 белых шара достаточно мала (примерно 0.004). Это значит, что при проведении эксперимента (вытаскивание 10 шаров из урны с 50 шарами без возвращения) 1000 раз мы рассчитываем получить вышеупомянутый результат 4 раза.

Что касается вероятности вытянуть все 5 белых шаров, то интуитивно понятно, что она будет меньше, чем вероятность вытянуть 4 белых шара. Давайте посчитаем эту вероятность.

	вытянутые	не вытянутые	всего
белые шары	5 (k)	0 = 5 − 5 (D − k)	5 (D)
чёрные шары	5 = 10 − 5 (n − k)	40 = 50 + 5 − 10 − 5 (N + k − n − D)	45 (N − D)
всего	10 (n)	40 (N − n)	50 (N)

Таким образом, мы получаем вероятность:

$\Pr(k=5) = f(5;50,5,10) = {{{5 \choose 5} {{45} \choose {5}}}\over {50 \choose 10}} = 0.0001189375\dots,$

Как и ожидалось, вероятность вытянуть 5 белых шаров меньше, чем вероятность вытянуть 4 белых шара.

Заключение:
Начальный вопрос можно расширить следующим образом: Если вытягиваются 10 шаров из урны (содержащей 5 белых и 45 чёрных шаров), какова вероятность вытянуть не менее 4 белых шаров? Для получения ответа на этот вопрос необходимо посчитать функцию распределения p(k>=4). Так как гипергеометрическое распределение является дискретным вероятностным распределением, функция распределения может быть легко посчитана как сумма соответствующих вероятностей.

В нашем примере достаточно сложить Pr (k = 4) и Pr (k = 5):

Pr (k ≥ 4) = 0.003964583 + 0.0001189375 = 0.004083520

Симметричность

$f(k;N,D,n) = {{{D \choose k} {{N-D} \choose {n-k}}}\over {N \choose n}} = f(n-k;N,N-D,n)$

Эта симметричность интуитивно понятна, если перекрасить белые шары в черные и наоборот, таким образом, белые и черные шары просто меняются ролями.

$f(k;N,D,n) = f(k;N,n,D)$

Эта симметричность интуитивно понятна, если вместо вытягивания шаров, вы помечаете шары, которые вы бы вытянули. Оба выражения дают вероятность того, что ровно k шаров черные и помечены как вытянутые.

Связь с другими распределениями

• Зафиксируем $n$ и $D$ и устремим $N$ к бесконечности. Тогда $\mathrm{HG}(D,N,n)$ сходится к биномиальному распределению $\mathrm{Bin}(n,D/N)$.

	п·Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | дискретное равномерное	мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета | Вейбулла | Гамма | гиперэкспоненциальное | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | логистическое | Накагами |Парето | полукруговое | непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | variance-gamma	многомерное нормальное | копула

Для улучшения этой статьи желательно?: Проверить достоверность указанной в статье информации. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.