Функция вероятности

Функция вероятности

Фу́нкция вероя́тности в теории вероятностей — наиболее часто используемый способ охарактеризовать дискретное распределение.

Содержание

Определения

Функция произвольной вероятности

Пусть \mathbb{P} является вероятностной мерой на \mathbb{R}^n, то есть определено вероятностное пространство \left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}\right), где \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) обозначает борелевскую σ-алгебру на \mathbb{R}^n.

Определение 1. Вероятностная мера называется дискретной, если её носитель \mathbb{P} не более, чем счётен, то есть существует не более, чем счётное подмножество X \subset \mathbb{R}^n такое, что \mathbb{P}(X) = 1.

Определение 2. Функция p:\mathbb{R}^n \to [0,1], определённая следующим образом:

p(x) = \left\{
\begin{matrix}
\mathbb{P}(\{x\}), & x\in X \\
0, & x \in \mathbb{R}^n \setminus X 
\end{matrix}
\right.

называется функцией вероятности \mathbb{P}.

Функция вероятности случайной величины

Определение 3. Пусть X:\Omega \to \mathbb{R}^nслучайная величина (случайный вектор). Тогда она индуцирует вероятностную меру \mathbb{P}^X на \mathbb{R}^n, называемую распределением. Случайная величина называется дискретной, если её распределение дискретно. Функция вероятности p_X случайной величины X имеет вид:

p_X(x) = \mathbb{P}^X(\{x\}) \equiv \mathbb{P}(X=x).

или короче

p_X(x_i) = \mathbb{P}(X=x_i) = p_i, \; i \in \mathbb{N},

где X = \{x_1,x_2, x_3,\ldots \} \subset{\mathbb{R}^n}.

Свойства функции вероятности

Из свойств вероятности очевидно следует:

F_X(x) = \sum\limits_{x' \leqslant x}p_X(x').
  • Если X = (X_1,X_2), то
\sum\limits_{x_2}p_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = p_{X_1}(x_1),
\sum\limits_{x_1}p_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = p_{X_2}(x_2),

где p_{X_1,X_2} — функция вероятности вектора (X_1,X_2), а p_{X_i} — функция вероятности величины X_i,\; i=1,2. Это свойство очевидно обобщается для случайных векторов размерности n>2.

\mathbb{E}[g(X)] = \sum\limits_{i=1}^n g(x_i)\, p_i,

при условии что ряд в правой части абсолютно сходится.

Примеры дискретных распределений

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Функция вероятности" в других словарях:

  • функция вероятности — tikimybės funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. probability function vok. Wahrscheinlichkeitsfunktion, f rus. функция вероятности, f pranc. fonction de probabilité, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Условная функция вероятности — Условное распределение в теории вероятностей это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение. Содержание 1 Определения 1.1 Дискретные случайные величины …   Википедия

  • Функция плотности вероятности — Функция вероятности для непрерывной случайной переменной …   Инвестиционный словарь

  • Функция правдоподобия — в математической статистике  это совместное распределение выборки из параметрического распределения, рассматриваемое как функция параметра. При этом используется совместная функция плотности (в случае выборки из непрерывного распределения)… …   Википедия

  • Функция Вигнера — (функция квазивероятностного распределения Вигнера, распределение Вигнера, распределение Вейля) была введена Вигнером в 1932 году для изучения квантовых поправок к классической статистической механике. Целью было заменить волновую функцию,… …   Википедия

  • функция ошибок — интеграл вероятности ошибок — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы интеграл вероятности ошибок EN error function …   Справочник технического переводчика

  • функция плотности вероятности — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN probability density function …   Справочник технического переводчика

  • ФУНКЦИЯ ДОЖИТИЯ — ФУНКЦИЯ ДОЖИТИЯ, количественная характеристика процесса смертности, функция от возраста, равна вероятности того, что новорождённый доживёт до нек рого точного возраста х лет, где х любое действит. число. В демографич. лит ре обычно обозначается… …   Демографический энциклопедический словарь

  • ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ — ф ция для описания распределения вероятностей значений случайной величины. Для всех возможных значений х ( <х< )случайной величины x Ф. р. где Р{x<=х} вероятность события x<= х. Ф. p. Fx(x) монотонно не убывает, она непрерывна справа …   Физическая энциклопедия

  • ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ — основное понятие статистической физики; характеризует плотность вероятности распределения частиц макроскопической системы по координатам и импульсам в классической статистике или вероятность распределения по квантомеханическим состояниям в… …   Большой Энциклопедический словарь


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»