Функция распределения

Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство $(\R,\mathcal{F},\mathbb{P})$, и на нём определена случайная величина $X$ с распределением $\mathbb{P}^X$. Тогда функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F_X\colon\mathbb{R} \to [0,1]$, задаваемая формулой:

$F_X(x) = \mathbb{P}( X \leqslant x ) \equiv \mathbb{P}^X\left((-\infty, x]\right)$.

То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины $X$ называют функцию $F(x)$, значение которой в точке $x$ равно вероятности события $\{X \leqslant x\}$, то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых $X(\omega) \leqslant x$.

Свойства

• $F_X$ непрерывна справа:^[1]

  $\lim\limits_{\varepsilon \to 0+} F_X(x+\varepsilon) = F_X(x)$

• $F_X$ не убывает на всей числовой прямой.
• $\lim\limits_{x \to -\infty} F_X(x) = 0$.
• $\lim\limits_{x \to +\infty} F_X(x) = 1$.

• Распределение случайной величины $\mathbb{P}^X$ однозначно определяет функцию распределения.
  • Верно и обратное: если функция $F(x)$ удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что $F(x)$ является её функцией распределения.

• По определению непрерывности справа, функция $F_X$ имеет правый предел $F_X(x+)$ в любой точке $x\in \mathbb{R}$, и он совпадает со значением функции $F_X(x)$ в этой точке.
  • В силу неубывания, функция $F_X$ также имеет и левый предел $F_X(x-)$ в любой точке $x\in \mathbb{R}$, который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция $F_X$ либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

Тождества

Из свойств вероятности следует, что $\forall x \in \mathbb{R},\; \forall a,b\in \mathbb{R}$, таких что $a < b$:

• $\mathbb{P}(X > x ) = 1 - F_X(x)$;
• $\mathbb{P}(X < x ) = F_X(x-)$;
• $\mathbb{P}(X \geqslant x ) = 1 - F_X(x-)$;
• $\mathbb{P}( X = x ) = F_X(x) - F_X(x-)$;
• $\mathbb{P}(a < X \leqslant b ) = F_X(b) - F_X(a)$;
• $\mathbb{P}(a \leqslant X \leqslant b) = F_X(b) - F_X(a-)$;
• $\mathbb{P}(a < X < b ) = F_X(b-) - F_X(a)$;
• $\mathbb{P}(a \leqslant X < b ) = F_X(b-) - F_X(a-)$.

Дискретные распределения

Если случайная величина $X$ дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

$\mathbb{P}(X = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots$,

то функция распределения $F_X$ этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

$F_X(x) = \sum\limits_{i\colon x_i \leqslant x} p_i$.

Эта функция непрерывна во всех точках $x\in \mathbb{R}$, таких что $x \not= x_i,\; \forall i$, и имеет разрыв первого рода в точках $x = x_i,\; \forall i$.

Непрерывные распределения

Распределение $\mathbb{P}^X$ называется непрерывным, если такова его функция распределения $F_X$. В этом случае:

$\mathbb{P}(X = x) = 0,\; \forall x \in \mathbb{R}$,

и

$F_X(x-0) = F_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}$,

а следовательно формулы имеют вид:

$\mathbb{P}(X \in |a,b|) = F_X(b) - F_X(a)$,

где $|a,b|$ означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

Абсолютно непрерывные распределения

Распределение $\mathbb{P}^X$ называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция $f_X(x)$, такая что:

$F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x\!f_X(t)\, dt$.

Функция $f_X$ называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если $f_X \in C(\mathbb{R})$, то $F_X \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, и

$\frac{d}{dx}F_X(x) = f_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}$.

Вариации и обобщения

Иногда в российской литературе берётся такое определение функции распределения:

$F_X(x) = \mathbb{P}( X < x ) \equiv \mathbb{P}^X\left((-\infty, x)\right)$.

Определённая так функция распределения будет непрерывна слева, а не справа.

Многомерные функции распределения

Пусть $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ фиксированное вероятностное пространство, и $X=(X_1,\ldots,X_n)\colon\Omega \to \mathbb{R}^N$ — случайный вектор. Тогда распределение $\mathbb{P}^X$, называемое распределением случайного вектора $X \,$ или совместным распределением случайных величин $X_1,\ldots,X_n$, является вероятностной мерой на $\mathbb{R}^n$. Функция этого распределения $F_X\colon\mathbb{R}^n \to [0,1]$ задаётся по определению следующим образом:

$F_X(x_1,\ldots,x_n) = \mathbb{P}(X_1 \leqslant x_1 ,\ldots, X_n \leqslant x_n) \equiv \mathbb{P}^X \left(\prod\limits_{i=1}^n (-\infty,x_i]\right)$,

где $\prod$ в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на $\mathbb{R}^n$ и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для $n > 1$.

См. также

• Плотность вероятности

Примечания

1. ↑ Ширяев, А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1980. — С. 45, 166.