Случайная величина

Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Формальное математическое определение следующее: пусть $(\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})$ — вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция $X\colon\Omega \to \mathbb{R}$, измеримая относительно $\mathcal{F}$ и борелевской σ-алгебры на $\mathbb{R}$. Вероятностное поведение отдельной (независимо от других) случайной величины полностью описывается её распределением.

Определение

Пространство элементарных событий

Пространство элементарных событий $\Omega$ в случае бросания игральной кости

Если бросается игральная кость, то в результате верхней гранью может оказаться одна из шести граней с количеством точек от одной до шести. Выпадение какой-либо грани в данном случае в теории вероятностей называется элементарным событием $~\omega_k$^[1], то есть

• $~\omega_1$ — грань с одной точкой;
• $~\omega_2$ — грань с двумя точками;
• ...
• $~\omega_6$ — грань с шестью точками.

Множество всех граней $~\{\omega_1, \ldots, \omega_6\}$ образует пространство элементарных событий $~\Omega$, подмножества которого называются случайными событиями $~A_n$^[1]. В случае однократного подбрасывания игровой кости примерами событий являются

• выпадение грани с нечётным количеством точек, то есть событие $~A$ — это выпадение грани с одной точкой или грани с тремя точками, или грани с пятью точками). Математически событие $~A$ записывается как множество, содержащее элементарные события: $~\omega_1$, $~\omega_3$ и $~\omega_5$. Таким образом, $~A=\{~\omega_1, ~\omega_3, ~\omega_5\}$;
• выпадение грани с чётным количеством точек, то есть событие $~A$ — это выпадение грани с двумя точками или грани с четырьмя точками, или грани с шестью точками. Математически событие $~A$ записывается как множество, содержащее элементарные события: $~\omega_2$, $~\omega_4$ и $~\omega_6$. Таким образом, $~A=\{~\omega_2, ~\omega_4, ~\omega_6\}$;

Алгебра событий

Множество случайных событий образует алгебру событий $\mathfrak{A}$^[2], если выполняются следующие условия:

1. $\mathfrak{A}$ содержит пустое множество $~\varnothing$.
2. Если событие $A$ принадлежит $\mathfrak{A}$, то и его дополнение принадлежит $\mathfrak{A}$. С помощью кванторов это записывается так: $\forall A\in \mathfrak{A}$ : $\Omega\setminus A\in\mathfrak{A}$.
3. Если $A_1$ и $A_2$ принадлежат $\mathfrak{A}$, то их объединение также принадлежит $~\mathfrak{A}$. С помощью кванторов это записывается следующим образом ($\forall A_1, A_2\in \mathfrak{A}$) ($A_1 \cup A_2$) $\in \mathfrak{A}$.

Если вместо третьего условия $\mathfrak{A}$ удовлетворяет другому условию: объединение счётного подсемейства из $\mathfrak{A}$ также принадлежит $~\mathfrak{A}$, то множество случайных событий $\mathfrak{A}$ образует σ-алгебру событий.

$\sigma$-алгебра событий является частным случаем σ-алгебры множеств.

Самая маленькая среди всех возможных $\sigma$-алгебр, элементами которой являются все интервалы на вещественной прямой, называется борелевской σ-алгеброй $~\mathcal{B}$ на множестве вещественных чисел $~\mathbb{R}$.

Вероятность

Если каждому элементарному событию поставить в соответствие число $p_i\in[0,1]$, для которого выполняется условие:

$~\Sigma p_i=1$,

то считается, что заданы вероятности элементарных событий $p_i\in[0,1]$. Вероятность события, как счётного подмножества пространства элементарных событий, определяется как сумма вероятностей тех элементарных событий, которые принадлежат этому событию. Требование счётности важно, так как, иначе сумма будет не определена.

Рассмотрим пример определения вероятности различных случайных событий. Например, если событие является пустым множеством, то его вероятность равна нулю^[3]:

$P(~\varnothing)=0$.

Если событием является пространство элементарных событий, то его вероятность равна единице:

$P(~\Omega)=1$.

Вероятность события (подмножества пространства элементарных событий) равна сумме вероятностей тех элементарных событий, которые включает в себя рассматриваемое событие.

Определение случайной величины

Случайной величиной называется функция $~\xi\colon\Omega \to \mathbb{R}$, измеримая относительно $\mathcal{F}$ и борелевской σ-алгебры на $\mathbb{R}$^[4].

Случайную величину можно определить и другим эквивалентным способом^[4]. Функция $~\xi\colon\Omega \to \mathbb{R}$ называется случайной величиной, если для любых вещественных чисел $a$ и $b$ множество событий $~\omega$, таких что $~\xi(\omega)\in(a,b)$, принадлежит $\mathcal{F}$.

Примеры

• Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть $\mathbb{P}(X = x_i) = \frac{1}{n},\; i=1,\ldots, n.$ Тогда её математическое ожидание

$M[X] = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i$

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

• Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале $[a,b]$, где $a<b$. Тогда её плотность имеет вид $f_X(x) = \frac{1}{b-a} \mathbf{1}_{[a,b]}(x)$ и математическое ожидание равно

$M[X] = \int\limits_{a}^b\!\frac{x}{b-a}\, dx = \frac{a+b}{2}$.

• Пусть случайная величина $X$ имеет стандартное распределение Коши. Тогда

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!xf_X(x)\, dx = \infty$,

то есть математическое ожидание $X$ не определено.

Классификация

Случайные величины могут принимать дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные значения. Соответственно случайные величины классифицируют на дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные (смешанные).

На схеме испытаний может быть определена как отдельная случайная величина (одномерная/скалярная), так и целая система одномерных взаимосвязанных случайных величин (многомерная/векторная).

• Пример смешанной случайной величины — время ожидания при переходе через автомобильную дорогу в городе на нерегулируемом перекрёстке.
• В бесконечных схемах (дискретных или непрерывных) уже изначально элементарные исходы удобно описывать количественно. Например, номера градаций типов несчастных случаев при анализе ДТП; время безотказной работы прибора при контроле качества и т. п.
• Числовые значения, описывающие результаты опытов, могут характеризовать не обязательно отдельные элементарные исходы в схеме испытаний, но и соответствовать каким-то более сложным событиям.

С одной стороны, с одной схемой испытаний и с отдельными событиями в ней одновременно может быть связано сразу несколько числовых величин, которые требуется анализировать совместно.

• Например, координаты (абсцисса, ордината) какого-то разрыва снаряда при стрельбе по наземной цели; метрические размеры (длина, ширина и т. д.) детали при контроле качества; результаты медобследования (температура, давление, пульс и пр.) при диагностике больного; данные переписи населения (по возрасту, полу, достатку и пр.).

Поскольку значения числовых характеристик схем испытания соответствуют в схеме некоторым случайным событиям (с их определёнными вероятностями), то и сами эти значения являются случайными (с теми же вероятностями). Поэтому такие числовые характеристики и принято называть случайными величинами. При этом расклад вероятностей по значениям случайной величины называется законом распределения случайной величины.

Методы описания

Частично задать случайную величину, описав этим все её вероятностные свойства как отдельной случайной величины, можно с помощью функции распределения, плотности вероятности и характеристической функции, определяя вероятности возможных её значений. Функция распределения F(x) является вероятностью того, что значения случайной величины меньше вещественного числа x. Из этого определения следует, что вероятность попадания значения случайной величины в интервал [a, b) равна F(b)-F(a). Преимущество использования функции распределения заключается в том, что с её помощью удаётся достичь единообразного математического описания дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных случайных величин. Тем не менее, существуют разные случайные величины, имеющие одинаковые функции распределения.

Если случайная величина дискретная, то полное и однозначное математическое описание её распределения определяется указанием вероятностей $p_k=P(\xi=x_k)$ всех возможных значений этой случайной величины. В качестве примера рассмотрим биномиальный и пуассоновский законы распределения.

Биноминальный закон распределения описывает случайные величины, значения которых определяют количество «успехов» и «неудач» при повторении опыта N раз. В каждом опыте «успех» может наступить с вероятностью p, «неудача» — с вероятностью q=1-p. Закон распределения в этом случае определяется формулой Бернулли:

$P_{k,n}=C_n^k\cdot p^k \cdot q^{n-k}$.

При стремлении $n$ к бесконечности произведение np остаётся равной константе $\lambda$, а закон распределения сходится к закону Пуассона, который описывается следующей формулой:

$p(k) \equiv \mathbb{P}(Y=k) = \frac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda}$,

где

• символ "$!$" обозначает факториал,
• $e = 2.718281828\ldots$ — основание натурального логарифма.

Простейшие обобщения

Случайная величина, вообще говоря, может принимать значения в любом измеримом пространстве. Тогда её чаще называют случайным вектором или случайным элементом. Например,

• Измеримая функция $X\colon\Omega \to \mathbb{R}^n$ называется n-мерным случайным вектором (относительно борелевской $\sigma$-алгебры на $\mathbb{R}^n$).
• Измеримая функция $X\colon\Omega \to \mathbb{C}^n$ называется n-мерным комплексным случайным вектором (также относительно соответствующей борелевской $\sigma$-алгебры).
• Измеримая функция, отображающая вероятностное пространство в пространство подмножеств некоторого (конечного) множества, называется (конечным) случайным множеством.

См. также

• Случайный процесс
• Функция распределения
• Математическое ожидание

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Чернова Н. И. Глава 1. § 2. Элементарная теория вероятностей // Теория вероятностей. — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.
2. ↑ Чернова Н. И. Глава 3. § 1. Алгебра и сигма-алгебра событий // Теория вероятностей. — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.
3. ↑ Чернова Н. И. ГЛАВА 1 § 2. Элементарная теория вероятностей // Теория вероятностей. — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.
4. ↑ ^{1 2} Чернова Н. И. Глава 6. Случайные величины и их распределения § 1. Случайные величины // Теория вероятностей. — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.

Литература

• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности. — 8-е изд. доп. и испр. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с.
• Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Прохоров Ю. В.. — 2-е изд. — М.: «Советская энциклопедия», 1998. — 847 с.
• Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. — Учебное пособие для ВУЗов. — М.: Радио и связь, 1991. — 608 с. — ISBN 5-256-00789-0
• Чернова Н. И. Теория вероятностей. — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.

Ссылки

• Многомерные случайные величины