Формула Бернулли

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.

Формулировка

Теорема: Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность $P_{k,n}$ того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: $P_{k,n}=C_n^k\cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $q = 1 - p$.

Доказательство

Так как в результате $n$ независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие $A$ наступает с вероятностью $P \left(A\right)= p$, следовательно, противоположное ему событие с вероятностью $P \left(\bar{A}\right)= 1 - p$.

Обозначим $A_i$ — наступление события $A$ в испытании с номером $i$. Так как условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Пусть в результате $n$ опытов событие $A$ наступает $k$ раз, тогда остальные $n-k-$раз это событие не наступает. Событие $A$ может появиться $k$ раз в $n$ испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из $n$ элементов по $k$. Это количество сочетаний находится по формуле:

$C_n(k) = \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$.

При этом вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:

$p^k\cdot(1-p)^{n-k}$.

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим окончательную Формулу Бернулли:

$P_{k,n}=C_n^k\cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $q = 1 - p$.

См. также

• Факториал
• Биномиальный коэффициент

Ссылки

• Повторение испытаний. Формула Бернулли