Промежуток (математика)

Промежуток, или более точно, промежуток числовой прямой — множество вещественных чисел, обладающее тем свойством, что вместе с любыми двумя числами содержит любое, лежащее между ними^[1]. С использованием логических символов, это определение можно записать так: $X \subset \mathbb{R}$ — промежуток, если

$\forall x \forall y \forall z \biggl( (x \in X ) \wedge (z \in X ) \wedge (x <y < z) \Rightarrow y \in X \biggr)$

В качестве примеров промежутков можно привести следующие множества:

$\begin{matrix} X_1 = \{ x \in \mathbb{R} \colon 0 \leqslant x \leqslant 1\}, & X_2 = \{ x \in \mathbb{R} \colon 0 \leqslant x < 1\}, & X_3 = \{ x \in \mathbb{R} \colon 0 < x \leqslant 1\}, \\ X_4 = \{ x \in \mathbb{R} \colon 0 < x < 1\}, & X_5 = \{ x \in \mathbb{R} \colon x > 0\}, & X_6 = \{ x \in \mathbb{R} \colon x < 1\},\\ X_7 = \mathbb{R}, & X_8 = \varnothing & \end{matrix}$

Типы промежутков

Конечный промежуток состоит из множества чисел, заключенных между двумя числами $a$ и $b$ — концами промежутка, которые сами могут быть включены в его состав, или нет^[1].

Если $a \leqslant b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}$, то промежуток $\{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x \leqslant b \}$ называется отрезком, и обозначается $[a,b]$:

$[a,b] \overset {\mathrm{def}} {=} \{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x \leqslant b \}$

В случае $a=b$ отрезок состоит из одной точки.

Если $a < b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}$, то промежуток $\{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b \}$ называется интервалом, и обозначается $(a,b)$:

$(a,b) \overset {\mathrm{def}} {=} \{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b \}$

Промежутки

$[a,b) \overset {\mathrm{def}} {=} \{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x < b \}, \quad (a,b] \overset {\mathrm{def}} {=} \{x \in \mathbb{R} \colon a < x \leqslant b \}$

называются полуинтервалами.

Длиной промежутка во всех случаях называется число $b-a$.

Бесконечные промежутки

$\{x \in \mathbb{R} \colon x \geqslant a \}, \quad \{x \in \mathbb{R} \colon x > a \}, \quad \{x \in \mathbb{R} \colon x \leqslant b \}, \quad \{x \in \mathbb{R} \colon x < b \}, \quad \mathbb{R}$

не ограничены либо сверху, либо снизу каким-либо вещественным числом. В этом случае удобно считать, что у этих промежутков одним из концов, или обоими служат несобственные числа $+\infty, -\infty$, полагая, что для любого вещественного числа $x \in \mathbb{R}$ справедливы неравенства $x < + \infty, x > -\infty$. Обозначения и наименования бесконечных промежутков аналогичны таковым для конечных промежутков. Например, выписанные выше бесконечные промежутки обозначаются соответственно

$[a, +\infty), \quad (a, +\infty), \quad (-\infty, b], \quad (-\infty, b), \quad (-\infty, +\infty)$

Пустое множество $\varnothing$ также является промежутком.

Промежутки расширенной числовой прямой

Основная статья: Расширенная числовая прямая

Множество вещественных чисел $\mathbb{R}$, дополненное элементами $+\infty$ и $-\infty$, называется расширенной числовой прямой и обозначается $\overline{\mathbb{R}}$, то есть

$\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ +\infty\} \cup \{ -\infty\}$

При этом для любого вещественного числа $x \in \mathbb{R}$ по определению полагают выполненными неравенства

$-\infty < x, \quad x < +\infty, \quad -\infty < +\infty$

Для расширенной числовой прямой также вводят понятия промежутков — отрезков, интервалов, полуинтервалов^[1]. В отличие от соответствующих промежутков числовой прямой они могут содержать элементы $\pm \infty$. Например, $(a, +\infty] = (a, +\infty) \cup {\{+\infty\}}$.

Терминология

Иногда для промежутков используется другая терминология^[2]. В английском языке слова промежуток и интервал соответствуют одному слову — англ. interval. В англоязычной литературе, и в переводах иностранных книг, а также в некоторых других книгах на русском языке, используется следующая терминология:

$[a,b] = \{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x \leqslant b \}$ — замкнутый интервал (англ. closed interval)

$(a,b) = \{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b \}$ — открытый интервал (англ. open interval)

$[a,b) = \{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x < b \}$ — полуоткрытый (или полузамкнутый) интервал (англ. half-open interval/half-closed interval)

$(a,b] = \{x \in \mathbb{R} \colon a < x \leqslant b \}$ — полуоткрытый (или полузамкнутый) интервал (англ. half-open interval/half-closed interval)

Соответственно, любой промежуток (в смысле определения, данного выше в этой статье) называется интервал (англ. interval). Также в русскоязычной литературе можно встретить^[3] эти же термины, в которых вместо слова интервал используется промежуток: замкнутый промежуток, открытый промежуток, полуоткрытый (или полузамкнутый) промежуток.

См. также открытые и замкнутые множества.

Также в некоторых книгах^[4] отрезок называется сегментом, а полуинтервал — полусегментом.

Факты

Теорема о промежуточных значениях

Основная статья: Теорема Больцано — Коши

Известная теорема Больцано — Коши о промежуточных значениях непрерывной функции гласит: образ любого промежутка при непрерывном отображении снова есть промежуток. Как следует из обобщения этой теоремы на случай произвольных топологических пространств, эта теорема — следствие того факта, что промежутки — в точности связные подмножества $\mathbb{R}$. См. ниже связные множества.

Операции с промежутками

Основная статья: Интервальная арифметика

На практике промежуток нередко характеризует интервал возможных значений (приближённо) измеренной величины. На множестве таких промежутков можно определить арифметические операции. Тогда результату вычислений над величинами можно сопоставить соответствующие вычисления над их интервалами, задающие в итоге интервал возможных значений для результата.

Мера

Основная статья: Мера Лебега

Промежутки числовой прямой, прямоугольники на плоскости, прямоугольные параллелепипеды в пространстве и т. п. являются отправной точкой в теории меры, поскольку являются простейшими множествами, меру которых (длину, площадь, объем и т. п.) легко определить.

Обобщения

Связные множества

Основные статьи: Связное пространство, Линейно связное пространство

Обобщением промежутка числовой прямой является понятие связного топологического пространства. На числовой прямой всякое связное множество есть промежуток, и обратно, любой промежуток есть связное множество.

Также промежуток числовой прямой лежит в основе другого, более специального понятия линейной связности. Во множестве вещественных чисел $\mathbb{R}$, а также в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^n$ произвольной размерности $n$ понятия связности и линейной связности совпадают.

Выпуклые множества

Основная статья: Выпуклое множество

Другим обобщением понятия промежутка числовой прямой является понятие выпуклого множества.

Промежутки в частично упорядоченных множествах

Основная статья: Частично упорядоченное множество

В самом общем случае понятие промежутка можно ввести на любом множестве, на котором введено отношение порядка $<$.

Примечания

1. ↑ ^{1 2 3} Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — С. 64-65. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1
2. ↑ Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе = Counterexamples in Analysis. — М.: ЛКИ, 2007. — С. 17-18. — 258 с. — ISBN 978-5-382-00046-6
3. ↑ Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. — 7-е изд. — М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2002. — Т. 1. — С. 35. — 416 с. — ISBN 5-9221-0196-X
4. ↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — 7-е изд. — М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2005. — Т. 1. — С. 56-57. — 648 с. — ISBN 5-9221-0536-1

Литература

• Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе = Counterexamples in Analysis. — М.: ЛКИ, 2007. — 258 с. — ISBN 978-5-382-00046-6
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — 7-е изд. — М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2005. — Т. 1. — 648 с. — ISBN 5-9221-0536-1
• Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1
• Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. — 7-е изд. — М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2002. — Т. 1. — 416 с. — ISBN 5-9221-0196-X

См. также

• Интервальная арифметика
• Отрезок