- Связное пространство
-
Связное пространство — топологическое пространство, которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся открытых подмножества.
Содержание
Связанные определения
- Каждое связное подмножество пространства содержится в некотором максимальном связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами связности (связными компонентами, компонентами) пространства .
- Пространство, в котором каждая компонента связности состоит из одной точки, называется вполне не связным. Примером могут служить любые пространства с дискретной топологией, пространство рациональных чисел на числовой прямой и канторово множество.
- Если существует база топологии пространства , состоящая из связных открытых множеств, тогда топология пространства и само пространство (в этой топологии) называются локально связными.
- Связное компактное Хаусдорфово пространство называется континуумом.
Свойства
- В связном пространстве каждое подмножество (кроме пустого подмножества и всего пространства) имеет непустую границу.
- Подмножества с пустой границей являются одновременно открытыми и замкнутыми подмножествами, и называются открыто-замкнутыми подмножествами. В связном пространстве все открыто-замкнутые подмножества тривиальны — либо пусты, либо совпадают со всем пространстовм.
- Образ связного множества при непрерывном отображении — связен.
- Связность пространства — свойство топологическое, то есть инвариантное относительно гомеоморфизмов.
- Замыкание связного множества связно.
- Более того, всякое «промежуточное» подмножество () тоже связно. Другими словами, если связное подмножество плотно в , то множество тоже связно.
- Пусть — семейство связных множеств, каждое из которых имеет непустое пересечение со связным множеством . Тогда множество тоже связно. (То есть если к связному множеству подклеивать произвольное семейство связных множеств, объединение всегда будет оставаться связным.)
- Декартово произведение связных пространств связно. Если хоть один из множителей несвязен, декартово произведение будет несвязным.
- Каждая компонента пространства является замкнутым множеством. Различные компоненты пространства не имеют общих точек. Компоненты связности подмножества пространства — это максимальные связные подмножества множества .
- Непрерывное отображение из связного пространства во вполне не связное сводится к отображению в одну точку.
- Локально связные пространства не обязаны быть связными, а связные — не обязаны быть локально связными.
- В локально связном пространстве, компоненты связности открыты.
- Любое линейно связное пространство связно.
- Обратное неверно; например замыкание графика функции связно, но линейно не связно (это множество содержит отрезок на оси ординат).
Примеры
- Псевдодуга — пример вполне линейно несвязного континуума
- Веер Кнастера — Куратовского — пример такого связного подмножества плоскости, что удаление из него одной точки делает его вполне несвязным
- Множество Мандельброта — пример связного множества
Вариации и обобщения
Категория:- Общая топология
- Каждое связное подмножество пространства содержится в некотором максимальном связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами связности (связными компонентами, компонентами) пространства .
Wikimedia Foundation. 2010.