Топологическое пространство

У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство.

Топологи́ческое простра́нство — основной объект изучения топологии (термин «топология» в его рамках — см. ниже). Исторически, понятие топологического пространства появилось как обобщение метрического пространства, в котором рассматриваются только свойства непрерывности.

Топологические пространства естественным образом возникают почти во всех разделах математики.

Определение

Пусть дано множество $X$. Система $\mathcal{T}$ его подмножеств называется тополо́гией на $X$, если выполнены следующие условия:

1. Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих $\mathcal{T}$, принадлежит $\mathcal{T}$, то есть если $U_{\alpha} \in \mathcal{T} \quad \forall \alpha \in A$, то $\bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha} \in \mathcal{T}$.
2. Пересечение конечного семейства множеств, принадлежащих $\mathcal{T}$, принадлежит $\mathcal{T}$, то есть если $U_{i} \in \mathcal{T} \quad i = 1,\;\ldots,\;n$, то $\bigcap\limits_{i=1}^n U_i \in \mathcal{T}$.
3. $X,\;\varnothing \in \mathcal{T}$.

Пара $(X,\;\mathcal{T})$ называется топологическим пространством. Множества, принадлежащие $\mathcal{T}$, называются открытыми множествами.

Примеры

• Связное двоеточие — двуточечное топологическое пространство.

• Вещественная прямая $\R$ является топологическим пространством, если, например, назвать открытыми множествами произвольные (пустые, конечные или бесконечные) объединения конечных или бесконечных интервалов. Множество всех конечных открытых интервалов $\{(a,\;b)\mid a,\;b\in\R\}$ является базой этой топологии. Это — стандартная топология на прямой. Вообще же на множестве вещественных чисел можно ввести очень разнообразные топологии, например, $\R_\to$, прямая с «топологией стрелки», где открытые множества имеют вид $(a,\infty)$, или топология Зарисского, в которой любое замкнутое множество — это конечное множество точек.

• Вообще, евклидовы пространства $\R^n$ являются топологическими пространствами. Базой их стандартной топологии можно выбрать открытые шары или открытые кубы.

• Обобщая далее, всякое метрическое пространство является топологическим пространством, базу топологии которого составляют открытые шары. Таковы, например, изучаемые в функциональном анализе бесконечномерные пространства функций.

• Рассмотрим множество $C(X,\;Y)$ непрерывных отображений топологического пространства $X$ в топологическое пространство $Y$. Оно является топологическим пространством относительно следующей топологии, которая называется компактно-открытой. Зададим предбазу множествами $C(K,\;U)$, состоящими из отображений, при которых образ компакта $K$ в $X$ лежит в открытом множестве $U$ в $Y$.

• Произвольное множество $X$ можно сделать топологическим пространством, если называть открытыми все его подмножества. Такая топология называется дискретной. В ней любые множества являются открытыми. Другой предельный случай — назвать открытыми минимально возможное количество подмножеств $X$, а именно, ввести тривиальную топологию — в ней открытыми являются лишь пустое множество и само пространство $X$.

Способы задания топологии

Задание топологии с помощью базы или предбазы

Основная статья: База топологии

Не всегда удобно перечислять все открытые множества. Часто удобнее указать некоторый меньший набор открытых множеств, который порождает их все. Формализацией этого является понятие базы топологии. Подмножество топологии $\mathfrak{B} \subset \mathcal{T}$ называется базой топологии, если всякое открытое множество представляется как объединение множеств из $\mathfrak{B}$, то есть

$\forall U \in \mathcal{T}\; \exists \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A} \subset \mathfrak{B}\colon U = \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}.$

Еще более экономный способ задания топологии состоит в задании её предбазы — множества, которое становится базой, если к нему прибавить произвольные конечные пересечения его элементов. Для того, чтобы систему множеств $\mathfrak{P}$ можно было объявить предбазой топологии, необходимо и достаточно, чтобы она покрывала всё множество $X$.

Наиболее часто предбазы используются для задания топологии, индуцированной на $X$ семейством отображений (см. далее).

Индуцированная топология

Пусть $f:X\to Y$ — произвольное отображение, множества $X$ в топологическое пространство $Y$. Индуцированная топология даёт естественный способ введения топологии на $X$: За открытые множества в $X$ берутся всевозможные прообразы открытых множеств в $Y$; то есть $U\in X$ открыто, если существует открытое $V\in Y$ такое что $U=f^{-1}V$.

Задание топологии с помощью замкнутых множеств

Множество $F\subset X$ называется замкнутым, если его дополнение $U = X \setminus F$ — открытое множество. Задать топологию на $X$ системой замкнутых множеств — значит предъявить систему $\mathcal{P}$ подмножеств X со свойствами:

1. Система $\mathcal{P}$ замкнута относительно операции пересечения множеств (в том числе бесконечных семейств):

   $\forall \alpha\in A \quad F_{\alpha}\in\mathcal{P} \Rightarrow \bigcap\limits_{\alpha\in A} F_{\alpha} \in \mathcal{P}$

2. Система $\mathcal{P}$ замкнута относительно операции объединения множеств (в конечном количестве):

   $F_1,\;F_2\in \mathcal{P} \Rightarrow F_1\cup F_2\in \mathcal{P}$

3. Множества $X,\;\varnothing$ включены в систему $\mathcal{P}$.

Если система множеств с такими свойствами задана, с помощью операции дополнения строится система $\mathcal{T}$открытых множеств, задающая топологию на $X$.

$\mathcal{T} = \{X\setminus F: F\in \mathcal{P}\}.$

Пример. Пусть $B$ — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Спектром кольца $B$ называется множество $X = \mathrm{Spec}\, B$ всех его простых идеалов. На множестве $X$ топология вводится с помощью системы замкнутых множеств: пусть $\mathfrak{a}$ — произвольный идеал кольца $B$ (не обязательно простой), тогда ему соответствует множество

$V(\mathfrak{a}) = \{\mathfrak{p}\in X:\mathfrak{a}\subset\mathfrak{p}\}.$

Все множества такого вида образуют систему множеств, удовлетворяющую перечисленным аксиомам, так как

$\bigcap\limits_{\alpha\in A}V(\mathfrak{a}_{\alpha}) = V\left(\sum\limits_{\alpha\in A} \mathfrak{a}_{\alpha}\right),\quad V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b}) = V(\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{b}),\quad V((0)) = X, \quad V((1)) = \varnothing.$

Спектр кольца — фундаментальный объект алгебраической геометрии.

Пример. Топология Зарисского в пространстве $X=\mathbf{C}^n$ также задаётся с помощью системы замкнутых множеств. Замкнутыми множествами в топологии Зарисского принимаются все множества, являющиеся множеством общих нулей конечной системы многочленов. Выполнение аксиом системы замкнутых множеств следует из нётеровости кольца многочленов $\mathbf{C}[z_1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n]$ и того факта, что общие нули произвольной системы многочленов совпадают с общими нулями идеала, который они образуют.

Пространство $X = \mathbf{C}^n$ естественно вложено в спектр кольца многочленов $Y = \mathrm{Spec}\,\mathbf{C}[z_1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n]$ (оно совпадает с множеством всех его замкнутых точек), и топология Зарисского на $X$ совпадает с той, что индуцирована топологией пространства $Y$.

Непрерывные отображения

Понятие топологии является минимально необходимым для того, чтобы говорить о непрерывных отображениях. Интуитивно непрерывность есть отсутствие разрывов, то есть близкие точки при непрерывном отображении должны переходить в близкие. Оказывается, для определения понятия близости точек можно обойтись без понятия расстояния. Именно это и есть топологическое определение непрерывного отображения.

Отображение топологических пространств $f:(X,\;\mathcal{T}_X)\to(Y,\;\mathcal{T}_Y)$ называется непрерывным, если прообраз всякого открытого множества открыт.

Категория $\mathrm{Top}$ всех топологических пространств, морфизмы которой — непрерывные отображения, является одной из важнейших категорий в математике. Попыткам классифицировать объекты этой категории при помощи алгебраических инвариантов посвящен раздел математической науки, который называется алгебраической топологией. Изучению понятий непрерывности, а также других понятий, таких как компактность или отделимость, как таковых, без обращения к другим инструментам, посвящена общая топология.

Дополнительные аксиомы

Три аксиомы, определяющие общий класс топологических пространств, чаще всего дополняются теми или иными аксиомами отделимости. В зависимости от тех или иных аксиом отделимости выделяют классы топологических пространств, например, тихоновские пространства, хаусдорфовы пространства, регулярные, вполне регулярные, нормальные пространства и др.

Наряду с аксиомами отделимости на свойства топологических пространств сильно влияет выполнение тех или иных аксиом счетности - первая аксиома счётности, вторая аксиома счётности (пространства со счетной базой топологии), а также сепарабельность пространства. Из наличия счетной базы топологии следует сепарабельность и выполнение первой аксиомы счетности. Кроме того, например, регулярные пространства со счетной базой являются нормальными и более того, метризуемы, то есть их топология может быть задана некоторой метрикой. Для компактных хаусдорфовых пространств наличие счетной базы топологии является необходимым и достаточным условием метризуемости. Для метрических пространств наличие счетной базы топологии и сепарабельность - эквивалентны.

См. также

• Глоссарий общей топологии

Литература

• Александров, П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: ГИИТЛ, 1948.
• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Добавить иллюстрации.