Теория категорий

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Теория категорий занимает центральное место в современной математике^[1], она также нашла применения в информатике^[2], логике ^[3] и в теоретической физике^{[4][5][уточнить]}. Современное изложение алгебраической геометрии и гомологической алгебры немыслимо без применения теории категорий. Общекатегорийные понятия также активно используются в языке функционального программирования Haskell^[6].

Определение

Категория $\mathcal{C}$ — это:

• класс объектов $Ob_{\mathcal{C}}$;
• для каждой пары объектов A,B задано множество морфизмов (или стрелок) $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$, причём каждому морфизму соответствует единственные A и B;
• для пары морфизмов $f\in \mathrm{Hom}(A,B)$ и $g\in \mathrm{Hom}(B,C)$ определена композиция $g\circ f\in \mathrm{Hom}(A,C)$;
• для каждого объекта $A$ задан тождественный морфизм $id_A\in \mathrm{Hom}(A,A)$;

причём выполняются две аксиомы:

• операция композиции ассоциативна: $h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f$ и
• тождественный морфизм действует тривиально: $f\circ id_A = id_B\circ f = f$ для $f\in \mathrm{Hom}(A,B)$

Замечание: класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория, в которой объекты составляют множество, называется малой. Кроме того, в принципе возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в которых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс, или даже большую структуру^[7].

Примеры категорий

• Set — категория множеств. Объектами в этой категории являются множества, морфизмами — отображения множеств.
• Group — категория групп. Объектами являются группы, морфизмами — отображения, сохраняющие групповую структуру.
• Vect_K — категория векторных пространств над полем K. Морфизмы — линейные отображения.
• Категория модулей.

Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.

• Top — категория топологических пространств. Морфизмы — непрерывные отображения.
• Для любого частично упорядоченного множества можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причём между элементами x и y существует единственный морфизм тогда и только тогда, когда x≤y (разумеется, следует отличать эту категорию от категории частично упорядоченных множеств!).

Коммутативные диаграммы

Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы или функторы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий можно записать с помощью диаграмм:

Двойственность

Для категории $\mathcal{C}$ можно определить двойственную категорию $\mathcal{C}^{op}$, в которой:

• объекты совпадают с объектами исходной категории;
• морфизмы получаются «обращением стрелок»: $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}^{op}}(B,A) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$

Вообще, для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок. Часто двойственное явление обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).

Основные определения и свойства

Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм

Морфизм $f\in \mathrm{Hom}(A,B)$ называется изоморфизмом, если существует такой морфизм $g \in \mathrm{Hom}(B,A)$, что $g\circ f = id_A$ и $f\circ g = id_B$. Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов $\mathrm{End}(A) = \mathrm{Hom}(A,A)$ является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом $id_A$.

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов $\mathrm{Aut}(A)$ по композиции.

Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм

Мономорфизм — это морфизм $f\in \mathrm{Hom}(A,B)$ такой, что для любых $g_1,g_2\in \mathrm{Hom}(X,A)$ из $f\circ g_1 = f\circ g_2$ следует, что $g_1=g_2$. Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.

Эпиморфизм — это такой морфизм, что для любых $g_1,g_2\in \mathrm{Hom}(B,X)$ из $g_1\circ f = g_2\circ f$ следует $g_1=g_2$.

Биморфизм — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения соответственно. Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

Инициальный и терминальный объекты

Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории — это такой объект, из которого существует единственный морфизм в любой другой объект.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется терминальный или универсально притягивающий объект — это такой объект, в который существует единственный морфизм из любого другого объекта.

Пример: В категории Set инициальным объектом является пустое множество $\empty$, терминальным — множество из одного элемента $\{\cdot\}$.

Пример: В категории Group инициальный и терминальный объект совпадают — это группа из одного элемента.

Произведение и сумма объектов

Произведение (пары) объектов A и B — это объект $A\times B$ с морфизмами $p_1: A\times B\to A$ и $p_2: A\times B \to B$ такими, что для любого объекта $C$ с морфизмами $f_1: C\to A$ и $f_2: C\to B$ существует единственный морфизм $g: C \to A\times B$ такой, что диаграмма справа коммутативна. Морфизмы $p_1: A\times B\to A$ и $p_2: A\times B \to B$ называются проекциями.

Дуально определяется прямая сумма или копроизведение $A+B$ объектов $A$ и $B$. Соответствующие морфизмы $\imath_A: A\to A+B$ и $\imath_B: B \to A+B$ называются вложениями. Несмотря на своё название, в общем случае они могут и не быть мономорфизмами.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Пример: В категории Set прямое произведение A и B — это произведение в смысле теории множеств $A\times B$, а прямая сумма — дизъюнктное объединение $A \sqcup B$.

Пример: В категории Ring прямая сумма — это тензорное произведение $A\otimes B$, а прямое произведение — сумма колец $A\oplus B$.

Пример: В категории Vect_K (конечные) прямое произведение и прямая сумма изоморфны — это прямая сумма векторных пространств $A\oplus B$.

Несложно определить аналогичным образом произведение любого семейства объектов $\prod_{i\in I} A_i$. Бесконечные произведения устроены в общем случае гораздо сложнее, чем конечные. Например, в то время как конечные произведения и копроизведения в Vect_K изоморфны прямым суммам, бесконечные произведения и копроизведения не являются изоморфными. Элементами бесконечного произведения $\prod_{i\in I} V_i$ являются произвольные бесконечные последовательности элементов $v_i \in V_i$, в то время как элементами бесконечного копроизведения $\coprod_{i\in I} V_i$ являются последовательности, в которых лишь конечное число членов — ненулевые.

Функторы

Основная статья: Функтор (математика)

Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру. Точнее,

(Ковариантный) функтор $\mathcal{F}: \mathcal{C}\to \mathcal{D}$ ставит в соответствие каждому объекту категории $\mathcal{C}$ объект категории $\mathcal{D}$ и каждому морфизму $f: A\to B$ морфизм $F(f): F(A)\to F(B)$ так, что

• $F(id_A) = id_{F(A)}$ и
• $F(g)\circ F(f) = F(g\circ f)$.

Контравариантный функтор, или кофунктор — это функтор из $\mathcal{C}$ в $\mathcal{D}^{op}$, то есть «функтор, переворачивающий стрелки».

Некоторые типы категорий

• Моноидальные категории
• Абелевы категории
• Топосы

См. также

• Категория Бэра
• Естественное преобразование
• Предел
• Сопряжённые функторы
• Монады
• Малая категория

Ссылки

1. ↑ Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М.:МЦНМО, 2004 ISBN 5-94057-065-8
2. ↑ D.E. Rydeheard, R.M. Burstall Computational Category Theory, — New York: Prentice Hall. — 1988. — XIII, 257 p. — ISBN 0-13-162736-8.
3. ↑ Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
4. ↑ Нужна ли физикам теория категорий?. Оригинал http://arxiv.org/abs/0808.1032
5. ↑ Топосы для физики.  (англ.)
6. ↑ Category theory in Haskell  (англ.). Архивировано из первоисточника 24 августа 2011. Проверено 13 марта 2011.
7. ↑ J. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker Abstract and concrete categories: The joy of cats, — New York: John Wiley and Sons, — 1990.

• «Category Theory» in Stanford Encyclopedia of Philosophy

Литература

• С. Мак Лейн [Maclane S.] Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].
• С. Мак Лейн [Maclane S.] Гомология. — М.: Мир — том 114 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften, 1966 [1963].
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Лекции по теории категорий. — М.: Наука, 1970.
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Категории. — том 06 серии — ВИНИТИ — Итоги науки и техники, Алгебра-Топология-Геометрия`, 1969.
• Букур [Bucur I.] Деляну[Deleanu A.] Введение в теорию категорий и функторов. — том 19 серии Pure & applied mathematics — a series of texts & monographs — 1972 [1968].
• Фейс [Faith C.] Алгебра — кольца, модули и категории, том 1. — М.: Мир — том 190 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften — 1977 [1973].
• Фейс [Faith C.] Алгебра — кольца, модули и категории, том 2. — М.: Мир — том 191 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften — 1977 [1976].
• Габриель [Gabriel P.], Цисман [Zisman M.] Категории частных и теория гомотопий. — М.: Мир — том 35 серии Springer-Verlag — Ergebnisse der mathematik und ihrer grenzgebiete — 1971 [1967].
• Голдблатт [Goldblatt R.] Топосы — категорный анализ логики. — том 98 серии Studies in logic & foundation of mathematics — 1983 [1979].
• Фултон Е, Мак-Фёрсон Р. Категорный подход к изучению пространств с особенностями. — том 33 серии Новое в зарубежной науке, математика — ред. Бухштабер В. М. — 1983.

Разделы математики

 

Портал «Наука»

Алгебра   Элементарная алгебра  • Линейная алгебра (Полилинейная алгебра)  • Абстрактная алгебра Абстрактная алгебра Коммутативная алгебра  • Теория представлений  • Дифференциальная алгебра  • Гомологическая алгебра  • Универсальная алгебра  • Теория категорий

Математический анализ   Вариационное исчисление  • Комплексный анализ  • Теория меры  • Функциональный анализ  • Гармонический анализ  • Нестандартный анализ

Геометрия и топология   Геометрия Алгебраическая геометрия  • Аналитическая геометрия  • Евклидова геометрия  • Неевклидова геометрия  • Планиметрия  • Стереометрия  • Тригонометрия Топология Общая топология  • Алгебраическая топология Смежные направления Дифференциальная геометрия и топология  • Геометрическая топология

Дискретная математика   Комбинаторика  • Теория графов  • Теория множеств  • Булева алгебра

Прикладная математика   Математическая физика  • Математическая химия  • Математическая статистика  • Математическое моделирование  • Теория алгоритмов  • Численные методы  • Математическая экономика, Финансовая математика  • Теория вероятностей  • Исследование операций

Математическая логика (алгебра логики)  • Теория чисел (арифметика)

Портал «Математика» | Категория «Математика»