Сепарабельность

В топологии и смежных областях математики сепара́бельным пространством (от лат. separabilis — отделимый) называется топологическое пространство, в котором содержится не более чем счётное всюду плотное множество.

Очень многие классические пространства, встречающиеся в математическом анализе и геометрии, являются сепарабельными. Сепарабельные пространства обладают некоторыми привлекательными для математиков свойствами. Многие из этих свойств проистекают из возможности представить каждый элемент пространства как предел последовательности элементов из счётного плотного множества, подобно тому как всякое действительное число можно представить как предел последовательности из рациональных чисел.

Многие теоремы могут быть доказаны конструктивно только для сепарабельных пространств. Типичным примером такой теоремы является теорема Хана — Банаха, которая в случае сепарабельных пространств может быть доказана конструктивно, но в противном случае использует для доказательства аксиому выбора.

Свойства

• Непрерывный образ сепарабельного пространства сепарабелен.
• Каждое открытое топологическое подпространство сепарабельного пространства сепарабельно.
• Не более чем счётное топологическое произведение сепарабельных пространств сепарабельно. (При этом произведение произвольного количества сепарабельных пространств уже не обязано быть сепарабельным.)
• Множество всех действительнозначных непрерывных функций на сепарабельном пространстве имеет мощность не больше континуума (так как непрерывная функция однозначно задаётся своими значениями на плотном подмножестве).
• Если в метрическом пространстве присутствует несчётное число элементов, попарное расстояние между которыми больше некоторой положительной константы, то пространство не является сепарабельным.

Примеры

• Дискретное топологическое пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно не более чем счётно.
• Пространство действительных чисел сепарабельно: счётным всюду плотным множеством здесь являются рациональные числа. Более общо, пространства $\mathbb{R}^n$ и $\mathbb{C}^n$ сепарабельны.
• Пространство непрерывных функций на отрезке [0,1] с метрикой равномерной сходимости (т. е. пространство C[0,1]) сепарабельно. По аппроксимационной теореме Вейерштрасса пространство многочленов с рациональными коэффициентами на том же отрезке является его счётным всюду плотным подпространством. Теорема Банаха — Мазура утверждает, что любое сепарабельное банахово пространство изоморфно какому-либо замкнутому подпространству C[0,1].
• Гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда в нём существеут счётный ортонормированный базис.
• Пространство $\ell^\infty$ не является сепарабельным, так как содержит несчётное множество с попарными расстояниями, равными единице (множество всех последовательностей из нулей и единиц).

См. также

• Принцип разделимости
• Аксиома отделимости