- Аппроксимационная теорема Вейерштрасса
-
В математике аппроксимацио́нной теоремой Вейерштра́сса (Стоуна — Вейерштрасса) называют теорему, утверждающую, что для любой непрерывной функции на отрезке можно подобрать последовательность многочленов, равномерно сходящихся к этой функции на отрезке.
Содержание
Формулировка
Пусть — непрерывная функция, определённая на отрезке . Тогда для любого существует такой многочлен с вещественными коэффициентами, что для любого из выполнено условие .[1]
Теорема справедлива и для комплекснозначных функций, но тогда коэффициенты полинома следует считать комплексными числами.
Схема доказательства Вейерштрасса
Теорема была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году[2] как следствие более общего утверждения:
Пусть при каждом вещественном значении переменной является однозначно определенной, вещественной и непрерывной функцией, абсолютное значение которой не превосходит некоторой границы... Пусть обладает теми же свойствами, что и , и к тому же нигде не меняет своего знака, удовлетворяет равенству и для нее сходится интеграл
- ,
- ,
- .
Из прямого доказательства сразу следует, что предел не только существует и равен , но и что сходимость равномерная по , меняющемся на любом конечном отрезке.
Взяв в качестве
- ,
видим, что вполне определены при всех комплексных и являются целыми функциями. Поэтому их можно равномерно в круге любого радиуса приблизить полиномами (одна из теорем Абеля). Отсюда сразу следует, что любую непрерывную функцию можно равномерно приблизить полиномами на любом конечном интервале. Для установления теоремы в сформулированной выше форме достаточно заметить, что любую функцию, заданную и непрерывную на отрезке, можно непрерывно продолжить на всю вещественную ось.
Более того. Если к тому же периодическая функция с периодом , то являются целыми периодическими функциями. Но тогда
является однозначной и голоморфной функцией в области и, следовательно, разлагается в ряд Лорана
- ,
поэтому , а значит и можно приблизить тригонометрическими полиномами.
Произвольные функции и их аналитическое представление
В середине XIX века представление о функции как аналитическом выражении казалось полностью изжившим себя, а Анализ занимался произвольными функциями. Герман Ханкель определил их наиболее четко:
О функции от говорят, когда каждому значению переменной , [лежащей] внутри некоторого интервала, соответствует определенное значение ; при этом не существенно, зависит ли от во всем интервале по одному закону, и может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций.[3]
Фраза «не существенно … может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций» призвана подчеркнуть, что не всякая функция может быть представлена при помощи аналитического выражения. В ответ на это Вейерштрасс и написал работу «Об аналитическом представлении так называемых произвольных функций», в которой было показано, что произвольная непрерывная функция суть предел полиномов. В дальнейшем выяснилось, что и самые «патологические» функции, например, функция Дирихле, допускают такого рода представления, но лишь с большим числом предельных переходов.
Другие применения
Согласно этой теореме, пространство непрерывных вещественно- или комплекснозначных функций на отрезке с равномерной нормой сепарабельно: пространство многочленов с рациональными или комплексно-рациональными коэффициентами является требуемым счётным всюду плотным подпространством.
См. также
- Теорема Данжуа — Лузина
- Аппроксимационная проблема Бернштейна
Ссылки
Категории:- Теория приближений
- Теоремы
- Математический анализ
Wikimedia Foundation. 2010.