Ряд Лорана

Ряд Лорана — двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням $(z-a)$, то есть ряд вида

$\sum_{n\in \Z}a_n(z-a)^n$

Этот ряд понимается как сумма двух рядов:

1. $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n$ — положительная часть ряда Лорана (иногда называется правильной) и
2. $\sum_{n=-\infty}^{-1}{a_{n}}{(z-a)^n}$ — отрицательная часть ряда Лорана (иногда называется главной).

При этом ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части. Термин назван в честь французского математика П. А. Лорана.

Свойства

• Если внутренность области сходимости ряда Лорана непуста, то она представляет собой круговое кольцо

$D= \{z\in\mathbb C\mid r<|z-a|<R<\infty\}$

• Во всех точках своего кольца сходимости $D$ ряд Лорана сходится абсолютно;
• Как и для степенных рядов, поведение ряда Лорана в точках граничных окружностей кольца сходимости может быть самым разнообразным;
• На любом компактном подмножестве $K\subset D$ ряд сходится равномерно;
• Сумма ряда Лорана в $D$ есть аналитическая функция $f(z)$;
• Ряд Лорана можно дифференцировать и интегрировать в $D$ почленно;
• Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если суммы двух рядов Лорана совпадают в $D$, то совпадают и все коэффициенты этих рядов.
• Коэффициенты $a_n$ ряда Лорана определяются через его сумму $f(z)$ формулами

$a_n=\frac1{2\pi i}\int\limits_\gamma\frac{f(z)\,dz}{(z-z_0)^{n+1}}$

где $\gamma(t)=a+\rho e^{it}$, $t\in [0,2\pi]$, $r<\rho<R$ — любая окружность с центром a, расположенная внутри кольца сходимости.

Теорема Лорана

Применение рядов Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана:

Любая однозначная аналитическая функция $f(z)$ в кольце $D= \{z\in\mathbb C\mid r<|z-a|<R<\infty\}$ представима в $D$ сходящимся рядом Лорана.

В частности, в проколотой окрестности

$D= \{z\in\mathbb C\mid 0<|z+b-a|<R<\infty\}$

изолированной особой точки $a$ однозначная аналитическая функция $f(z)$ представима рядом Лорана, который служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности изолированной особой точки.

Тип особой точки определяется главной частью ряда Лорана в кольце с центром в этой точке:

• Устранимая особая точка — главная часть ряда Лорана равна 0.
• Полюс — главная часть содержит конечное число ненулевых членов.
• Существенно особая точка — главная часть содержит бесконечное число ненулевых членов.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.