Предел последовательности

n	n sin(1/n)
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

С ростом значения n, значение функции n sin(1/n) приближается к 1. Говорят, что "предел последовательности n sin(1/n) равен 1."

У этого термина существуют и другие значения, см. Предел.

В математике пределом последовательности элементов пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать», в некотором смысле, элементы данной последовательности. Свойство последовательности, иметь или не иметь предел, называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится, в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится. Часто встречающимся является предел числовой последовательности.

Пределом последовательности точек топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. Все открытые, в смысле данной топологии, множества, содержащие данную точку, образуют систему окрестностей этой точки. В метрическом пространстве систему окрестностей образуют, например, все открытые шары с центром в данной точке. Поэтому свойство сходимости последовательности элементов метрического пространства к данной точке формулируется как способность «удерживать» на заданном расстоянии все точки последовательности, начиная с некоторого номера.

Сходящиеся последовательности обладают следующим свойством: каждая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, и её предел совпадает с пределом исходной последовательности. Другими словами, у последовательности не может быть двух различных пределов.^[1] Может, однако, оказаться, что у последовательности нет предела, но существует подпоследовательность (данной последовательности), которая предел имеет. Если из последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то, говорят, что данное пространство компактно или, точнее, секвенциально компактно.

Понятие предела последовательности непосредственно связано с понятием предельной точки (множества): если у множества есть предельная точка, то существует последовательность элементов данного множества, сходящаяся к данной точке. Таким образом, у последовательности может быть несколько предельных точек, но, если последовательность сходится, то все предельные точки совпадают друг с другом и совпадают с пределом самой последовательности.

Предел числовой последовательности является основным объектом рассмотрения в математическом анализе. В общей топологии рассматриваются наиболее общие свойства сходимости, а, также, вводятся и изучаются обобщения.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $T$ и последовательность $~\{x_n\}.$ Тогда, если существует элемент $x \in T$ такой, что

$\forall U(x) \exists N: \forall n (n > N \Rightarrow x_n \in U(x))$,

где $U(x)$ — открытое множество, содержащее $x$, то он называется пределом последовательности $x_n$. Если пространство является метрическим, то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент $x \in T$ такой, что

$\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall n (n > N \Rightarrow d(x_n, x) < \varepsilon)$,

где $d(x,y)$ — метрика, то $x$ называется пределом $x_n$.

Примеры

• Если пространство снабжено антидискретной топологией, то пределом любой последовательности будет любой элемент пространства.

Примечания

1. ↑ Строго говоря, необходимо потребовать выполнения свойств отделимости друг от друга точек топологического пространства. Например, в хаусдорфовом топологическом пространстве две любые точки являются отделимыми. Каждое метрическое пространство является хаусдорфовым, поэтому указанное свойство выполняется автоматически.

См. также

• Предел (математика)
• Предел числовой последовательности
• Эпсилон-окрестность
• Последовательность Коши