Последовательность Коши

Последовательность точек $(x_n)_{n=1}^\infty$ метрического пространства с метрикой ρ называется фундаментальной (ρ-фундаментальной) или последовательностью Коши, если она удовлетворяет критерию Коши:

Для любого $\varepsilon > 0$ существует такое натуральное $N_\varepsilon$, что $\rho(x_{n}, x_{m}) < \varepsilon\$ для всех $n, m > N_\varepsilon$.

Любая сходящаяся последовательность фундаментальна. Пусть a — её предел. Тогда, начиная с некоторого N, $\rho(x_n,a) < \varepsilon$ и $\rho(x_m,a) < \varepsilon$, а стало быть, $\rho(x_m , x_n) \leqslant \rho(x_m , a) + \rho(x_n , a) < 2\varepsilon$, значит, последовательность по определению фундаментальна.

Обратное, в общем случае, неверно. Во множестве рациональных чисел $\mathbb{Q}$, рассматриваемом как метрическое пространство с метрикой, определяемой обычной абсолютной величиной ρ(x,y) = | x − y | последовательность десятичных дробей, приближающих какое-нибудь иррациональное число, например π с недостатком — 3; 3,1; 3,14; 3,141… является фундаментальной, но во множестве рациональных чисел не имеет предела, так как π иррационально.

Полное пространство

Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится.

Полнота множества действительных чисел

Как уже было показано, множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ с обычной метрикой неполно. Покажем, что множество действительных чисел $\mathbb{R}$ образует полное пространство, то есть любая фундаментальная последовательность действительных чисел является сходящейся. Пусть некая последовательность (x_n) удовлетворяет критерию Коши. Тогда она, очевидно, ограничена. Следовательно, по теореме Больцано — Вейерштрасса у неё существует предельная точка. Чтобы доказать существование (конечного) предела, необходимо доказать единственность предельной точки. Пусть их существует две — a₁ и a₂. Тогда возьмём $\varepsilon = \frac{1}{3} |a_1-a_2|$. Так как a₁ и a₂ — предельные точки последовательности, то для любого номера N, в том числе соответствующего в определении фундаментальной последовательности для данного $\varepsilon$, будут существовать n и m, большие N и такие, что x_n и x_m будут находиться в ε-окрестностях предельных точек a₁ и a₂ соответственно, а значит, расстояние между точками a₁ и a₂ будет $|a_1-a_2|\leqslant |a_1-x_n|+|x_n-x_m|+|x_m-a_2|<3\varepsilon=|a_1-a_2|$, что противоречит условию. То что любая сходящаяся последовательность фундаментальна было показано выше. Таким образом для последовательностей действительных чисел фундаментальность является необходимым и достаточным условием сходимости (условие Коши).

Другие примеры полных пространств

• любое конечномерное евклидово или эрмитово пространство полно.
• любое банахово пространство, в частности гильбертово пространство, полно по определению.

Пополнение

Всякое метрическое пространство X = (X,ρ) можно вложить в полное пространство Y таким образом, что метрика Y продолжает метрику X, а подпространство X всюду плотно в Y. Такое пространство Y называется пополнением и обычно обозначается $(\bar X,\bar \rho)$. Любые два пополнения изометричны. Один из самых простых способов построения пополнения следующий. Для любого метрического пространства X = (X,ρ), на множестве фундаментальных последовательностей в X можно ввести отношение эквивалентности

$(x_n)\sim(y_n)\Leftrightarrow \lim\rho(x_{n}, y_n)=0.$

Множество классов эквивалентности $\bar X$ с метрикой, определённой

$\bar \rho((x_n),(y_n))= \lim\rho(x_{n}, y_n),$

является метрическим пространством. Само пространство (X,ρ) изометрически вкладывается в него следующим образом: точке $x\in X$ соответствует класс постоянной последовательность x_n = x. Получившееся пространство $(\bar X,\bar \rho)$ и будет пополнением X. Если X имеет алгебраическую структуру, например кольца, то она естественным образом переносится на $\bar X$.

Примеры пополнений

• Поле действительных чисел $\mathbb{R}$ является пополнением поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$ при помощи метрики, определяемой обычной абсолютной величиной.
• Поле p-адических чисел $\mathbb Q_p$ является пополнением при помощи метрики, определяемой p-адическим нормированием.

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004. — 7-е изд.
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч.3, — М.:Наука, 1970.