Последовательность

Последовательность — это набор элементов некоторого множества:

• для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;
• это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
• для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.

Таким образом, последовательность оказывается результатом последовательного выбора элементов заданного множества. И, если любой набор элементов является конечным, и говорят о выборке конечного объёма, то последовательность оказывается выборкой бесконечного объёма.

Последовательность по своей природе — отображение, поэтому его не следует смешивать с множеством, которое «пробегает» последовательность.

В математике рассматривается множество различных последовательностей:

• числовые последовательности;
• временные ряды как числовой, так и не числовой природы;
• последовательности элементов метрического пространства
• последовательности элементов функционального пространства
• последовательности состояний систем управления и автоматов.

Целью изучения всевозможных последовательностей является поиск закономерностей, прогноз будущих состояний и генерация последовательностей.

Определение

Пусть задано некоторое множество $X$ элементов произвольной природы. | Всякое отображение $f\colon\mathbb{N}\to X$ множества натуральных чисел $\mathbb{N}$ в заданное множество $X$ называется последовательностью (элементов множества $X$).

Образ натурального числа $n$, а именно, элемент $x_n=f(n)$, называется $n$-ым членом или элементом последовательности, а порядковый номер члена последовательности — её индексом.

Связанные определения

• Подмножество $f\left[\mathbb{N}\right]$ множества $X$, которое образовано элементами последовательности, называется носителем последовательности: пока индекс пробегает множество натуральных чисел, точка, «изображающая» последовательность, «перемещается» по носителю.

• Если взять возрастающую последовательность натуральных чисел, то её можно рассматривать как последовательность индексов некоторой последовательности: если взять элементы исходной последовательности с соответствующими индексами (взятыми из возрастающей последовательности натуральных чисел), то можно снова получить последовательность, которая называется подпоследовательностью заданной последовательности.

Комментарии

• Не следует смешивать носитель последовательности и саму последовательность! Например, точка $a\in X$ как одноточечное подмножество $\{a\}\subset X$ является носителем стационарной последовательности вида $a,a,a,\dots$.

• Любое отображение множества $\mathbb{N}$ в себя также является последовательностью.

• В математическом анализе важным понятием является предел числовой последовательности.

Обозначения

Последовательности вида

$x_1,\quad x_2,\quad x_3,\quad\dots$

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

$(x_n)$ или $(x_n)_{n=1}^{\infty}$

иногда используются фигурные скобки:

$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$

Допуская некоторую вольность речи, можно рассматривать и конечные последовательности вида

$(x_n)_{n=1}^N$,

которые представляют собой образ начального отрезка последовательности натуральных чисел.

См. также

• Иерархия
• Порядок

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.