Числовая последовательность

Последовательность

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Определение

Пусть множество $X$ — это либо множество вещественных чисел $\mathbb{R}$, либо множество комплексных чисел $\mathbb{C}$. Тогда последовательность $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ элементов множества $X$ называется числовой последовательностью.

Примеры

• Функция $\left((-1)^n\right)_{n=1}^{\infty}$ является бесконечной последовательностью целых чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид $\langle -1, 1, -1, 1, -1,\ldots\rangle$.
• Функция $(1/n)_{n=1}^{\infty}$ является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид $\langle 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,\ldots\rangle$.
• Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу $n\leqslant 12$ одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида $(x_n)_{n=1}^{12}$. В частности, пятым членом $x_5$ этой последовательности является слово «май».

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества $X$ можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве $X$. Такие операции обычно определяют естественным образом, т. е. поэлементно.

Пусть на множестве $X$ определена $N$-арная операция $f$: $f \colon X^N \rightarrow X$ Тогда для элементов $x_1=(x_{1n})_{n=1}^\infty$, $x_2=(x_{2n})_{n=1}^\infty$, …, $x_N=(x_{Nn})_{n=1}^\infty$ множества всех последовательностей элементов множества $X$ операция $f$ будет определяться следующим образом: $f \left( x_1, x_2, \cdots, x_N \right) = ( f \left( x_{1n}, x_{2n}, \cdots, x_{Nn} \right) )_{n=1}^\infty$

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей $(x_n)$ и $(y_n)$ называется числовая последовательность $(z_n)$ такая, что $z_n = x_n + y_n$.

Разностью числовых последовательностей $(x_n)$ и $(y_n)$ называется числовая последовательность $(z_n)$ такая, что $z_n = x_n - y_n$.

Произведением числовых последовательностей $x_n$ и $y_n$ называется числовая последовательность $(z_n)$ такая, что $z_n = x_n \cdot y_n$.

Частным числовой последовательности $x_n$ и числовой последовательности $y_n$, все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность $z_n = \left( \frac{x_n}{y_n} \right)_{n=1}^\infty$. Если в последовательности $y_n$ на позиции $k \neq 1$ всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность $z_n = \left(\frac{x_n}{y_n} \right)_{n=1}^{k-1}$.

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности $(x_n)$ — это последовательность $(x_{n_k})$, где $(n_k)$ — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

• Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.

• Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

• Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.

• Для всякой подпоследовательности $(x_{k_n})$ верно, что $\forall n \in \N \colon k_n \geqslant n$.

• Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.

• Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.

• Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.

• Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

• Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Предельная точка последовательности

Основная статья: Предельная точка

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.

Предел последовательности

Основная статья: Предел последовательности

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Некоторые виды последовательностей

• Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.

  $(x_n)$ стационарная $\Leftrightarrow \left( \exists N \in \N ~ \forall i,j \in \N \colon \left( i \geqslant N \right) \and \left( j \geqslant N \right) \Rightarrow \left( x_i = x_j \right) \right)$

Ограниченные и неограниченные последовательности

В предположении о линейной упорядоченности множества $X$ элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностей.

• Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества $X$, все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.

  $(x_n)$ ограниченная сверху $\Leftrightarrow \exists M \in X ~ \forall n \in \N \colon x_n \leqslant M$

• Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества $X$, для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.

  $(x_n)$ ограниченная снизу $\Leftrightarrow \exists m \in X ~ \forall n \in \N \colon x_n \geqslant m$

• Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.

  $(x_n)$ ограниченная $\Leftrightarrow \exists m,M \in X ~ \forall n \in \N \colon m \leqslant x_n \leqslant M$

• Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.

  $(x_n)$ неограниченная $\Leftrightarrow \forall m,M \in X ~ \exists n \in \N \colon \left( x_n < m \right) \or \left( x_n > M \right)$

Критерий ограниченности числовой последовательности

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

$(x_n)$ ограниченная $\Leftrightarrow \exists A \in \R ~ \forall n \in \N \colon | x_n | \leqslant A$

Свойства ограниченных последовательностей

• Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.
• Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.
• Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.
• У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
• Для любого наперёд взятого положительного числа $\varepsilon$ все элементы ограниченной числовой последовательности $\left(x_n \right)_{n = 1}^{\infty}$, начиная с некоторого номера, зависящего от $\varepsilon$, лежат внутри интервала $\left(\varliminf_{n \to \infty} x_n - \varepsilon, \varlimsup_{n \to \infty} x_n + \varepsilon \right)$.
• Если за пределами интервала $\left( a, b \right)$ лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности $\left(x_n \right)_{n = 1}^{\infty}$, то интервал $\left(\varliminf_{n \to \infty} x_n, \varlimsup_{n \to \infty} x_n \right)$ содержится в интервале $\left( a, b \right)$.
• Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

• Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.
• Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.

Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

• Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
• Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
• Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
• Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
• Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
• Если $(x_n)$ — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность $(1 / x_n)$, которая является бесконечно малой. Если же $(x_n)$ всё же содержит нулевые элементы, то последовательность $(1 / x_n)$ всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера $n$, и всё равно будет бесконечно малой.
• Если $(\alpha_n)$ — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность $(1 / \alpha_n)$, которая является бесконечно большой. Если же $(\alpha_n)$ всё же содержит нулевые элементы, то последовательность $(1 / \alpha_n)$ всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера $n$, и всё равно будет бесконечно большой.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

• Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества $X$, имеющая предел в этом множестве.
• Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей

• Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
• Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
• Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
• Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
• Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
• Если последовательность $(x_n)$ сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность $(1 / x_n)$, которая является ограниченной.
• Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
• Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
• Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
• Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
• Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
• Любую сходящуюся последовательность $(x_n)$ можно представить в виде $(x_n) = (a + \alpha_n)$, где $a$ — предел последовательности $(x_n)$, а $\alpha_n$ — некоторая бесконечно малая последовательность.
• Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Монотонные последовательности

Основная статья: Монотонная последовательность

Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.

Фундаментальные последовательности

Основная статья: Фундаментальная последовательность

Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.

Вариации и обобщения

• Циклическая последовательность — отображение циклической группы $\Z_n\to X$.

Примечания

См. также

• Энциклопедия целочисленных последовательностей