Кольцо (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Кольцо.

В абстрактной алгебре кольцо́ — это один из наиболее часто встречающихся видов алгебраической структуры. Простейшими примерами колец являются алгебры чисел (целых, вещественных, комплексных, …), функций на множестве (всех, непрерывных, гладких, аналитических, …) и матриц. Во всех случаях имеется множество, похожее на множество чисел, в том смысле что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом. Однако есть и существенные отличия. Уже на примере целых чисел видно, что операция умножения может быть необратимой (операция деления определена не на целых числах, а на рациональных). Это различие ещё более существенно в кольцах функций и матриц: в них существуют элементы, произведение которых равно 0. Например, квадрат матрицы $\scriptstyle{ \left( \begin{matrix} 0 && 1 \\ 0 && 0 \end{matrix} \right) }$ равен 0, так что она в принципе не может иметь обратную. Кроме того, умножение матриц не коммутативно. Алгебры Ли являются важными примерами колец, в которых умножение не ассоциативно и не имеет единицы (тождественного по умножению элемента). Понятие кольца формализует общие свойства всех указанных примеров, позволяя изучать их общими абстрактными методами.

Заметим, что, согласно алгебраической геометрии, любое коммутативное ассоциативное кольцо с единицей можно рассматривать как кольцо функций на некотором пространстве (аффинной схеме), однако соответствующая конструкция весьма нетривиальна, а её результат сложнее, чем может подсказывать элементарная интуиция. Хотя в целом интуитивное представление о кольце как о некотором кольце функций или кольце матриц не слишком сильно искажает истину, необходимо помнить о различиях.

Определения

Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:

1. $\forall a, b \in R \left(a + b = b + a\right)$ — коммутативность сложения;
2. $\forall a, b, c \in R \left(a + (b + c)) = ((a + b) + c\right)$ — ассоциативность сложения;
3. $\exists 0 \in R\; \forall a \in R \left(a + 0 = 0 + a = a\right)$ — существование нейтрального элемента относительно сложения;
4. $\forall a \in R\; \exists b \in R \left(a + b = b + a = 0\right)$ — существование противоположного элемента относительно сложения;
5. $\forall a, b, c \in R\; (a \times b) \times c=a \times (b \times c)$ — ассоциативность умножения (некоторые авторы не требуют выполнения этой аксиомы^[1])
6. $\forall a, b, c \in R \left\{\begin{matrix} a \times (b + c) = a \times b + a \times c \\ (b + c) \times a = b \times a + c \times a \end{matrix}\right.$ — дистрибутивность.

Иными словами, кольцо — это универсальная алгебра $\left(R, +, \times \right)$, такая что алгебра $\left(R, + \right)$ — абелева группа, и операция $+$ дистрибутивна слева и справа относительно $\times$. Кольцо называется ассоциативным, если мультипликативный группоид является полугруппой.

Ассоциативные кольца могут обладать следующими дополнительными свойствами:

• наличие единицы: $\exists e \in R\; \forall a \in R \left(a \times e = e \times a = a\right)$ (кольцо с единицей);
• коммутативность умножения: $\forall a, b \in R \left(a \times b = b \times a\right)$ (коммутативное кольцо);
• отсутствие делителей нуля: $\forall a, b \in R \left(a \times b = 0 \Rightarrow a = 0 \or b = 0\right)$ (целостное кольцо или область целостности).

Кольца, для которых выполнены два последние свойства, называются целостными (иногда также областями целостности или просто областями, хотя условие коммутативности не всегда считается обязательным).

Иногда под ассоциативным кольцом понимают ассоциативное кольцо с единицей. Но имеются примеры ассоциативных колец без единицы, например — нулевое кольцо, кольцо чётных чисел, или же любой несобственный идеал в кольце. Рассматриваются также неассоциативные кольца без единицы, например лиевские кольца и др.

Связанные определения

• Подмножество $A\subset R$ называется подкольцом $R$, если $A$ само является кольцом относительно операций, определенных в $R$. По определению, оно непусто, поскольку содержит нулевой элемент.
• Ассоциативное кольцо с единицей $1 \neq 0$, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется телом.
• Коммутативное тело называется полем. Иначе говоря, поле — это коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, не имеющее нетривиальных идеалов.
• Кольцо, элементами которого являются числа, а операциями — сложение и умножение чисел, называют числовым кольцом. Например, множество чётных чисел является числовым кольцом.

Простейшие свойства

Пусть $R$ — кольцо, тогда выполнены следующие свойства:

• $a \cdot 0 = 0$, то есть 0 — поглощающий элемент по умножению.
• $(-b) = (-1) \cdot b$, где $(-b)$ — элемент, обратный к $b$ по сложению.
• $(a-b) \cdot c = a\cdot c -b \cdot c$
• $c \cdot (a-b) = c \cdot a - c \cdot b$

Примеры

• $\{ 0\}$ — тривиальное кольцо, состоящее из одного нуля. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей. Считать этот тривиальный пример кольцом важно с точки зрения теории категорий, так как при этом в категории колец возникает нулевой объект, через который пропускается любой нулевой гомоморфизм колец.
• $\mathbb{Z}$ — целые числа (с обычным сложением и умножением). Это важнейший пример кольца, так как любое кольцо можно рассматривать как алгебру над $\Z$.
• $\mathbb{Z}_n$ — кольцо вычетов по модулю натурального числа n. Это классические примеры колец из теории чисел. Они являются полями тогда и только тогда, когда число $n$ простое. Соответствующие поля являются отправной точкой для построения теории конечных полей. Кольца вычетов также важны при исследовании структуры конечнопорождённых абелевых групп, Их также можно использовать для построения p-адических чисел.
• $\mathbb{Q}$ — кольцо рациональных чисел, являющееся полем. Это простейшее поле характеристики 0. Оно является основным объектом исследования в теории чисел. Пополнение его по всем неэквивалентным нормам даёт поля вещественных чисел $\R$ и p-адических чисел $\Q_p$, где $p$ — произвольное простое число.
• Для произвольного (коммутативного, ассоциативного) кольца $R$ можно построить кольцо многочленов от n переменных $R[x_1,x_2,\dots,x_n]$ с коэффициентами в $R$. В частности, $R[x][y]=R[x,y]$. Кольцо многочленов с целыми коэффициентами является универсальным кольцом многочленов, в том смысле что все кольца многочленов выражаются через тензорное произведение: $R[x_1,\dots,x_n] = R \otimes \left(\Z[x_1,\dots,x_n]\right)$.
• Кольцо бесконечно гладких вещественнозначных функций $C^\infty(M,\R)$ на многообразии $M$ — это коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Умножение и сложение в нём определяются поточечно:

$(f+g)(x) = f(x) + g(x),\;x\in M$

$(f\cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x),\;x\in M$

Нулевой элемент — функция, тождественно равная 0, единичный — тождественно равная 1. Обратимыми элементами в нём являются нигде не равные 0 функции, делителями нуля — функции, равные 0 на некотором открытом множестве в $M$. Это кольцо не имеет нильпотентов, так как их нет в $\R$, а умножение поточечно. Если $M$ компактно, то максимальными идеалами в нём являются множества функций, зануляющихся в данной точке:

$\mathfrak{m}_x = \{ f\in C^\infty(M) \vert f(x) = 0 \}$

причём максимальные идеалы совпадают с простыми.

• Кольцо подмножеств множества $X$ — это кольцо, элементами которого являются подмножества в $X$. Операция сложения есть симметрическая разность, а умножение — пересечение множеств:

$A + B = A \Delta B = (A\setminus B ) \cup (B \setminus A)$

$A \cdot B = A \cap B$

Аксиомы кольца легко проверяются. Нулевым элементом является пустое множество, единичным — всё $X$. Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть $A\cdot A = A$. Любой элемент является своим обратным по сложению: $A+A=0$. Кольцо подмножеств важно в теории булевых алгебр и теории меры, в частности в построении теории вероятностей.

• Кольцо когомологий — это важный топологический инвариант, связанный с любым топологическим пространством.
• Если $R$ — кольцо в категории $\mathcal{C}$, то множество $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(M,R)$ является кольцом (в обычном смысле) для любого объекта $A \in Ob(\mathcal{C})$.
• Кольцо периодов — множество чисел, которые могут быть выражены как объём области в $\R^n,$ заданной системой полиномиальных неравенств с рациональными коэффициентами.

См. также

• Алгебра над кольцом
• Алгебраическая система
• Артиново кольцо
• Бимодуль над кольцом
• Идеал
• Модуль над кольцом
• Дистрибутивное кольцо
• Дифференциальное кольцо
• Евклидово кольцо
• Кольцо Безу
• Кольцо главных идеалов
• Локальное кольцо
• Нётерово кольцо
• Первичное кольцо
• Полулокальное кольцо
• Полупервичное кольцо
• Полупростое кольцо
• Полуцепное кольцо
• Почти-кольцо
• Простое кольцо
• Ассоциативное кольцо
• Кольца близкие к ассоциативным
• Цепное кольцо
• Область целостности

Примечания

1. ↑ НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ

Ссылки

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. М.: издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7.
• Бельский А., Садовский Л. Кольца. Квант № 2, 1974.