Простое кольцо

Определение

Кольцо R называется простым, если $R^2 \neq \{0\}$ и R не имеет двусторонних идеалов, отличных от R и {0}.

Примеры и теоремы

• Рассмотрим кольцо R такое, что $R^2 \neq \{0\}$, и аддитивная группа $\langle R, +\rangle$ имеет простой порядок. Тогда кольцо R — простое, так как в $\langle R, + \rangle$ нет собственных подгрупп.
• Любое поле является простым кольцом, так как в поле нет собственных идеалов.
• Ассоциативное коммутативное кольцо R с единицей является полем тогда и только тогда, когда R простое кольцо.
• Если P — поле, n — положительное целое число, то кольцо матриц Mat(P,n) — простое.

Теорема Веддербёрна—Артина

Пусть R — простое артиново кольцо. Тогда кольцо R изоморфно кольцу всех матриц порядка n над некоторым телом. При этом n определено однозначно, а тело с точностью до изоморфизма. Обратно, для любого тела D кольцо Mat(D,n) является простым артиновым кольцом.

Литература

• Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.
• Джекобсон Н. Строение колец. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.