Локальное кольцо

Локальное кольцо — коммутативное кольцо, обладающее единственным максимальным идеалом.

Если в кольце максимальный идеал единствен, то он состоит из всех необратимых элементов кольца, и наоборот: если все необратимые элементы кольца образуют идеал, то этот идеал — максимальный, и других максимальных идеалов в кольце нет.

Локализация кольца по простому идеалу

Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, и $\mathfrak{p}$ — простой идеал в нём. Множество $S_{\mathfrak{p}} = \{a\in R:\, a\notin \mathfrak{p}\}$ — образует мультипликативную систему кольца R, соответствующую простому идеалу $\mathfrak{p}$.

Локализацией $R_{\mathfrak{p}}$ кольца R по простому идеалу $\mathfrak{p}$ называется кольцо частных $S_{\mathfrak{p}}^{-1}R$ кольца R по мультипликативной системе $S_{\mathfrak{p}}$. Как и в общем случае кольца частных, определён канонический гомоморфизм $\pi_{\mathfrak{p}}$ кольца R в $S_{\mathfrak{p}}^{-1}R$ по формуле $\pi_{\mathfrak{p}}(r)=r/1$.

При этом все обратимые элементы в $R_{\mathfrak{p}}$ имеют вид $s_1/s_2$, где оба элемента $s_1,s_2\in S_{\mathfrak{p}}$, а необратимые — имеют вид r/s, $r\in \mathfrak{p},\,s\in S_{\mathfrak{p}}$ и образуют идеал $\mathfrak{m}$. Поскольку этот идеал содержит все необратимые элементы кольца $R_{\mathfrak{p}}$, он — максимальный идеал, а $R_{\mathfrak{p}}$ — локальное кольцо.

См. также

• Коммутативная алгебра
• Кольцо частных
• Лемма Накаямы