Алгебра (универсальная алгебра)

Не следует путать с универсальной алгеброй — разделом математики, изучающим структуры данного вида.

Алгебра (универсальная алгебра) — множество $A$, называемое носителем алгебры, снабжённое набором $n$-арных алгебраических операций на $A$, называемым сигнатурой, или структурой алгебры. Иными словами, универсальной алгеброй является алгебраическая система с пустым множеством отношений.

Свойства

Для универсальных алгебр имеет место теорема о гомоморфизме: если $\varphi: A \rightarrow A'$ — гомоморфизм алгебр, а $\theta$ — ядерная конгруэнция $\varphi$ (то есть $\theta = \{(x, y)\in A\times A'|\varphi(x)=\varphi(y) \}$, то факторалгебра $A/\theta$ изоморфна $A'$.

Для универсальных алгебр исследованы сопутствующие структуры: группа автоморфизмов $\mathbf{Aut} A$, моноид эндоморфизмов $\mathbf{End} A$, решётка подалгебр $\mathbf{Sub} A$, решётка конгруэнций $\mathbf{Con} A$, в частности, показано, что для любой группы $G$ и решёток $L_0$ и $L_1$ существует такая универсальная алгебра $A$, что $G \cong \mathbf{Aut} A$, $L_0 \cong \mathbf{Sub} A$, $L_1 \cong \mathbf{Con} A$.

Универсальная алгебра с одной бинарной алгебраической операцией называется группоидом (магмой).

См. также

• Теоремы об изоморфизме

Литература

• Кон П. Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1969. — 351 с.
• Артамонов В. А. и др. Общая алгебра, в 2-х томах. — М.: Наука, 1990—1991. — 592 с + 480 с. с.
• Скорняков Л. А. [ Универсальная алгебра] — статья из Математической энциклопедии