Факторалгебра

Факторалгебра — понятие в абстрактной алгебре, определяемое следующим образом. Пусть $\mathrm{A}$ — алгебра над полем $\mathrm{K}$ и $\mathrm{J}$ — двусторонний идеал в $\mathrm{A}$. Предположим дополнительно, что идеал $\mathrm{J}$ является векторным подпространством в $\mathrm{A}$, т.е. выдерживает умножение на элементы поля $\mathrm{K}$ :$ka \in \mathrm{J}, \ \, \forall k \in \mathrm{K}, \ \forall a \in \mathrm{J}$. Рассматривая алгебру $\mathrm{A}$ как кольцо, определим факторкольцо $\mathrm{A}/\mathrm{J}$, которое можно превратить в алгебру над $\mathrm{K}$, если определить в ней умножение на элементы поля $\mathrm{K}$ по следующему правилу:

$k (a+\mathrm{J}) = ka + \mathrm{J}, \quad \forall k \in \mathrm{K}, \ \forall a \in \mathrm{A}$.

Построенная таким образом алгебра $\mathrm{A}/\mathrm{J}$ называется факторалгеброй алгебры $\mathrm{A}$ по идеалу $\mathrm{J}$.

Пример

Важный пример факторалгебры (в алгебре формальных степенных рядов от нескольких переменных) связан с определением кратности критической точки гладкой функции.

Связанные определения

Каноническим гомоморфизмом для алгебры $\mathrm{A}$, связанным с данным идеалом $\mathrm{J}$, для которого определена факторалгебра $\mathrm{A}/\mathrm{J}$, называется гомоморфизм $\mathrm{A} \to \mathrm{A}/\mathrm{J}$ с ядром $\mathrm{J}$, определённый формулой $a \mapsto a+\mathrm{J}, \ \, \forall a\in \mathrm{A}$.

См. также

• Факторкольцо
• Факторгруппа
• Факторполе

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7