Открытый шар

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Определения

Пусть дано метрическое пространство (X,ρ). Тогда

• Шаром (или открытым шаром) с центром в точке $x_0\in X$ и радиусом r > 0 называется множество

$B_r(x_0) = \{x \in X \mid \rho(x,x_0) < r\}.$

• Замкнутым шаром с центром в x₀ и радиусом r называется множество

$D_r(x_0) = \{x \in X \mid \rho(x,x_0) \leqslant r\}.$

Замечания

Шар радиуса r с центром x₀ также называют r-окрестностью точки x₀.

Свойства

• Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой ρ.
• Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой ρ.
• По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке X являют собой её базу.
• Очевидно, $B_r(x_0) \subset D_r(x_0)$. Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром: $\overline{B_r(x_0)} \neq D_r(x_0).$
  • Например: пусть (X,ρ) — дискретное метрическое пространство, и X состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого $x\in X$ имеем:

$B_1(x) = \{x\},\; \overline{B_1(x)} = \{x\},\; D_1(x) = X.$

Примеры

• Пусть $\mathbb{R}^d$ — евклидово пространство с обычным Евклидовым расстоянием. Тогда

• если d = 1 (пространство — прямая), то

$B_r(x_0) = \{x\in \Bbb R \mid |x - x_0| < r\} = \left(x_0 - {r}, x_0 + {r}\right),$

$D_r(x_0) = \{x\in \Bbb R \mid |x - x_0| \le r\} = \left[x_0 - {r}, x_0 + {r}\right].$

— открытый и замкнутый отрезок соответственно.

• если d = 2 (пространство — плоскость), то

  $B_r((x_0,y_0)) = \left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < r \right\},$

  $D_r((x_0,y_0)) = \left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} \leq r \right\}$

— открытый и замкнутый диск соответственно.

• если d = 3, то

  $B_r((x_0,y_0,z_0)) = \left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} < r \right\},$

  $D_r((x_0,y_0,z_0)) = \left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} \leq r \right\}$

— открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.

• В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^d$ метрику следующим образом:

  $\rho(x,y) = \sum\limits_{i=1}^d \|x_i-y_i\|,\quad x = (x_1,\ldots, x_d)^{\top},y=(y_1,\ldots,y_d)^{\top}\in \mathbb{R}^d.$

Тогда

• если d = 2, то U_r(x₀) — это открытый квадрат с центром в точке x₀ и сторонами длины $\sqrt{2}$, расположенными по диагонали к координатным осям.
• если d = 3, то U_r(x₀) — это открытый трёхмерный октаэдр.

См. также

• Диск (топология)