Топология Зарисского

Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей.

Тополо́гия Зари́сского в алгебраической геометрии — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и заняла важное место в этой области в 1950-х.

Классическое определение

В классической алгебраической геометрии (то есть до «революции Гротендика» в конце 1950-х и 1960-х) топология определялась следующим образом. Так как сам предмет имел два раздела, занимавшихся, соответственно, аффинными и проективными многообразиями, топология Зарисского определяется несколько по-разному для каждого из типов многообразий. Далее предполагается, что мы работаем над фиксированным алгебраически замкнутым полем K, под которым в классической алгебраической геометрии почти всегда подразумевались комплексные числа.

Аффинное пространство

Топология Зарисского на аффинном пространстве $\mathbb{A}^n$ над полем K — структура топологического пространства, множество замкнутых подмножеств которой совпадает с множеством алгебраических множеств данного пространства, то есть множеств вида

$V(S) = \{x \in \mathbb{A}^n \mid \forall f \in S:\; f(x) = 0\},$

где S это множество полиномов от n переменных над K.

Если $M$ — непустое подмножество аффинного пространства $A^n$, то топологией Зарисского на нём называется индуцированная топология.

Проективное пространство

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

Современное определение

Современное определение основывается на понятии спектра кольца. Пусть дано некоторое коммутативное кольцо с единицей. Спектром кольца $\mathrm{Spec}\,A$ называется множество его всех простых идеалов, а сами эти идеалы — точками спектра. Так как каждый собственный идеал, например нулевой, по известной теореме содержится в максимальном, значит, простом идеале, поэтому спектр любого кольца не пуст. Топология Зарисского вводится следующим образом — замкнутыми множествами спектра считаются множества всех простых идеалов, содержащих некоторое множество $E$ или, что то же самое порождённый им идеал $I$.

$V(I) = \{P \in \mathrm{Spec}\,(A) \mid I \subset P\}$

Нетрудно проверить все аксиомы. Например, то что объединение двух замкнутых множеств замкнуто следует из цепочки очевидных включений

$V(a \cap b) \subset V(a b) \subset V(a) \cup V(b) \subset V(a \cap b)$, отсюда $V(a) \cup V(b) = V(a \cap b)$.

Эта топология, как правило нехаусдорфова. Например, в кольце $\mathbb Z$ два открытых непустых множества пересекаются. Однако $\mathrm{Spec}\,A$ компактен для любого $A$ (в отсутствие хаусдорфовости это свойство обычно называется «квазикомпактностью»).

С ранее рассмотренной топологией на аффинном пространстве топология Зарисского на $\mathrm{Spec}\,K[x_1,\dots,x_n]$, где $K$ алгебраически замкнуто, связывается очень просто. Для любого аффинного многообразия $X$ рассмотрим множество многочленов $F(x_1,\ldots,x_n)$, которые равны 0 на $X$ (разумеется, ему принадлежат и наши многочлены $P_i$, определяющие $X$). Это множество, очевидно, является идеалом $I(X)$. Рассмотрим фактор-кольцо

$P(X) = K[x_1,\ldots,x_n]/I(X)$

называемое кольцом координатных функций на $X$. Пусть образами переменных $x_i$ будут $\alpha_i$. Построим отображение $X$ на

$X^\prime = \mathrm{Specm}\, P(X)\cap \mathrm{Spec}\,P(X)$

где $X'$ — множество всех максимальных идеалов $P(X)$, следующим образом: каждой точке $x$ сопоставим $m_x$ — максимальный идеал функций, не равных нулю на $x$. Ясно что различным $x$ соответствуют различные $m_x$. То что это отображение будет сюръективным (отображением на), то есть каждый максимальный идеал в $X'$ будет $m_x$ для некоторого $x$ следует из теоремы Гильберта о нулях. Таким образом топология Зарисского была определена на множестве всех максимальных идеалов $\mathrm{Specm}$.

Распространение топологии Зарисского со $\mathrm{Specm}\,A$ на $\mathrm{Spec}\,A$ было введено для выполнения следующего функториального свойства, чтобы каждому гомоморфизму $A \to B$ соответствовало непрерывное отображение $\mathrm{Spec}\,B \to \mathrm{Spec}\,A$. Для простого спектра построение тривиально — берётся прообраз простого идеала, для максимального так не получается, так как прообраз максимального идеала не обязательно максимален.

История

Эта топология впервые была рассмотрена Зарисским как топология в множестве нормирований поля алгебраических функций. На простом спектре её определил Гротендик. Так как эта топология, как было отмечено, «плохо себя ведёт», то он ввёл понятие этальной топологии.

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
• Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: Наука, 1972.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.