Абсолютная непрерывность

Абсолютная непрерывность — в математическом анализе, свойство функций и мер, состоящее, неформально говоря, в выполнении теоремы Ньютона—Лейбница о связи между интегрированием и дифференцированием. Обычно эта теорема формулируется в терминах интеграла Римана и включает в свои условия интегрируемость производной по Риману. При переходе к более общему интегралу Лебега, естественное требование существования измеримой производной почти всюду становится слишком слабым, и для выполнения соотношения, аналогичного теореме Ньютона — Лейбница, необходимо более тонкое условие, которое и называется абсолютной непрерывностью. Это понятие переносится на меры с помощью производной Радона — Никодима.

Абсолютно непрерывные функции

Функция $f\left(x\right)$ называется абсолю́тно непреры́вной фу́нкцией на конечном или бесконечном отрезке, если $\forall \varepsilon > 0$, $\exist \delta > 0$ такое, что для любого конечного набора непересекающихся интервалов $\left(x_i,y_i\right)$ области определения функции $\,\!f$, который удовлетворяет условию $\sum \left( y_i - x_i \right)< \delta$, выполнено $\sum \left|f\left( y_i \right) - f\left( x_i \right)\right| < \varepsilon$.

Абсолютно непрерывная на отрезке функция является равномерно непрерывной, и, следовательно, непрерывной. Обратное неверно.

Свойства абсолютно непрерывных функций

• Всякая абсолютно непрерывная функция имеет на промежутках конечной длины ограниченную вариацию.
• Абсолютно непрерывные функции образуют векторное пространство. Более того, они образуют замкнутое подпространство в пространстве функций ограниченной вариации.
• Произведение абсолютно непрерывных на отрезке конечной длины функций даёт абсолютно непрерывную функцию.
• Каждая абсолютно непрерывная функция представима в виде разности двух неубывающих абсолютно непрерывных функций.
• (Лебег) Если $F$ абсолютно непрерывна на $(a,b)$, то $F'$ является интегрируемой, и для почти всех $x\in[a,b]$

$\int\limits_a^x {F'(t)\,dt}=F(x)-F(a)$.

• Обратно, функция, имеющая на интервале интегрируемую по Лебегу обобщённую производную, является абсолютно непрерывной на нём, с точностью до множества лебеговой меры ноль.
• Липшицева функция является абсолютно непрерывной.

Примеры

Следующие функции являются непрерывными, но не абсолютно непрерывными:

• функция Кантора;
• функция

$f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{if }x =0 \\ x \sin(1/x), & \mbox{if } x \neq 0 \end{cases}$

на конечных интервалах, содержащих 0;

• функция ƒ(x) = x ² на неограниченных интервалах.

Абсолютно непрерывные меры

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

Литература

• Никольский С.М. Курс математического анализа. — 3-е. — М.: Наука, 1983. — Т. 2. — 544 с. — ISBN 5-02-014425-8
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.