- Векторное пространство
-
Ве́кторное (лине́йное) простра́нство — основной объект изучения линейной алгебры.
Содержание
Определение
Линейное, или векторное пространство над полем — это непустое множество , на котором введены операции
- сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и
- умножения на скаляр (то есть элемент поля ), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие единственный элемент из , обозначаемый .
При этом на операции накладываются следующие условия:
- , для любых (коммутативность сложения);
- , для любых (ассоциативность сложения);
- существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности не пусто;
- для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения).
- (ассоциативность умножения на скаляр);
- (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).
- (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
- (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).
Элементы множества называют векторами, а элементы поля — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.
Простейшие свойства
- Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
- Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
- для любого .
- Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
- для любого .
- для любых и .
- для любого .
Связанные определения и свойства
Подпространство
Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество линейного пространства такое, что само является линейным пространством по отношению к определенным в действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как . Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы
- ;
- для всякого вектора , вектор также принадлежал , при любом ;
- для всяких векторов , вектор также принадлежал .
Последние два утверждения эквивалентны следующему:
- для всяких векторов , вектор также принадлежал для любых .
В частности, пространство, состоящее из одного элемента , является подпространством любого пространства; любое пространство является само себе подпространством. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными.
Свойства подпространств
- Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;
- Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство. Сумма подпространств определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов :
.
В функциональном анализе в бесконечномерных пространствах особо выделяют замкнутые подпространства.
Базис. Размерность
- Конечная сумма вида
называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами .
- Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
- Элементы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому элементу . В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
- Бесконечное подмножество векторов из называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
- Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:
- Любые линейно независимых элементов -мерного пространства образуют базис этого пространства.
- Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
-
- .
Линейная оболочка
Линейная оболочка подмножества линейного пространства — пересечение всех подпространств , содержащих .
Линейная оболочка является подпространством .
Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным . Говорят также, что линейная оболочка натянута на множество .
Линейная оболочка состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из . В частности, если — конечное множество, то состоит из всех линейных комбинаций элементов .
Если — линейно независимое множество, то оно является базисом и тем самым определяет его размерность.
Примеры
- Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
- Пространство всех функций с конечным носителем образует векторное пространство размерности равной мощности .
- поле вещественных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.
- Любое поле является одномерным пространством над собой.
Дополнительные структуры
- Нормированное векторное пространство
- Метрическое векторное пространство
- Топологическое векторное пространство
- Евклидово пространство
- Гильбертово пространство
См. также
- Линейный оператор
- Сопряжённое пространство
- Модуль над кольцом
- Выпуклый функционал
- Линейная независимость
- Конечномерное пространство
- Прямая сумма
Литература
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. изд. МЦНМО, 1998.
Категория:- Линейная алгебра
Wikimedia Foundation. 2010.