Базис

У этого термина существуют и другие значения, см. Базис (значения).

Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

В случае, когда базис бесконечен, понятие «линейная комбинация» требует уточнения. Это ведёт к двум основным разновидностям определения:

• Базис Га́меля, в определении которого рассматриваются только конечные линейные комбинации. Базис Гамеля применяется в основном в абстрактной алгебре (в частности в линейной алгебре).
• Базис Ша́удера, в определении которого рассматриваются и бесконечные линейные комбинации, а именно — разложение в ряды. Это определение применяется в основном в функциональном анализе, в частности для гильбертова пространства,

В конечномерных пространствах обе разновидности базиса совпадают.

Происхождение термина

У Евклида и других древнегреческих математиков слово «базис» (βασις, в значении основание) обозначало горизонтальное основание плоской или пространственной фигуры. Современный математический смысл этому термину придал Дедекинд в статье 1885 года.

Элементарное введение: базис в евклидовой плоскости и пространстве

Базис в двумерном пространстве (то есть на плоскости). На диаграмме, голубой и оранжевый векторы — элементы базиса (или базисные векторы); зеленый вектор может быть представлен в виде суммы базисных векторов, умноженных на некоторые коэффициенты (зеленый = −2 голубой + 1 оранжевый), называемой линейной комбинацией и, таким образом, линейно зависим от них, как и любой другой вектор этого пространства (плоскости), каждый из которых тоже может быть представлен в виде линейной комбинации голубого и оранжевого с какими-то коэффициентами.

Любой декартовой системе координат на плоскости или в трехмерном пространстве (также и в пространстве другой размерности) может быть сопоставлен базис, состоящий из векторов, каждый из которых направлен вдоль своей координатной оси. Это относится и к прямоугольным декартовым координатам (тогда соответствующий базис называется ортогональным), так и к косоугольным декартовым координатам (которым будет соответствовать неортогональный базис).

Часто удобно выбрать длину (норму) каждого из базисных векторов единичной, такой базис называется нормированным.

Наиболее часто базис выбирают ортогональным и нормированным одновременно, тогда он называется ортонормированным.

В любом векторном пространстве базис можно выбрать различным образом (поменяв направления его векторов или их длины, например).

Декартовы координаты в трехмерном пространстве (левая (на рисунке слева) и правая (справа) декартовы системы координат (левый и правый базисы). Принято по умолчанию использовать правые базисы (это общепринятое соглашение, если только какие-то особые причины не заставляют от него отойти — и тогда это оговаривается явно). Базисом, соответствующим такой системе координат, является тройка векторов, каждый из которых направлен вдоль какой-то из осей (три базисных вектора изображаются, как правило, исходящими из общего начала).

Обозначения

Обозначение векторов базиса может быть в принципе произвольным. Часто используют какую-нибудь букву с индексом (числовым или совпадающим с названием координатной оси), например:

$\vec e_1, \vec e_2$

или

$\vec e_x, \vec e_y$

— типичные обозначения базиса двумерного пространства (плоскости).

$\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3$

или

$\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z$

— трехмерного пространства. Для трехмерного пространства часто по традиции используется и обозначение

$\vec i, \vec j, \vec k.$

Представление какого-то конкретного (любого) вектора $\vec a$пространства в виде линейной комбинации векторов базиса (суммы базисных векторов числовыми коэффициентами), например

$\vec a = a_x\vec e_x + a_y\vec e_y + a_z\vec e_z$

или

$\vec a = a_1\vec e_1 + a_2\vec e_2 + a_3\vec e_3$

или, употребляя знак суммы $\Sigma$:

$\vec a = \sum_{i=1}^3 a_i\vec e_i$

называется разложением этого вектора по этому базису.

Числовые коэффициенты $(a_x,a_y,a_z)$ называются коэффициентами разложения, а их набор в целом — представлением (или представителем) вектора $\vec a$ в базисе $\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z.$ (Разложение вектора по конкретному базису единственно; разложение одного и того же вектора по разным базисам — разное, то есть получается разный набор конкретных чисел, однако в результате при суммировании — как показано выше — дают один и тот же вектор).

Базис Гамеля

Базис Га́меля (англ. Hamel basis) — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации (полнота базиса), и такое представление для любого вектора единственно.

Критерием единственности решения задачи разложения вектора по полной системе векторов является линейная независимость векторов, входящих в полную систему. Линейная независимость означает, что всякая линейная комбинация векторов системы, в которой хотя бы один коэффициент ненулевой, имеет ненулевую сумму. То есть это эквивалентно единственности разложения нулевого вектора.

В случае линейных пространств, когда всякий ненулевой коэффициент обратим, линейная независимость эквивалентна невозможности выразить какой-либо вектор полной системы линейной комбинацией остальных векторов. (В более общей ситуации — модулей над кольцами — эти два свойства неэквивалентны). Невозможность выразить никакой вектор базиса через остальные означает минимальность базиса как полной системы векторов — при удалении любого из них теряется полнота.

В вопросе о существовании базисов основной является следующая лемма (доказательство этой леммы в общем случае неконструктивно и использует аксиому выбора):

Лемма. Пусть $S_1$ — полная, а $S_2$ — линейно независимая система векторов. Тогда система $S_1$ содержит набор векторов, дополняющий $S_2$ до базиса пространства $V$.

Следствием этой леммы являются утверждения:

1. Каждое линейное пространство обладает базисом.
2. Базис пространства можно выделить из любой полной системы векторов.
3. Всякую линейно независимую систему можно дополнить до базиса пространства V.

Любые два базиса в линейном пространстве равномощны, так что мощность базиса — величина, независящая от выбора базисных векторов. Она называется размерностью пространства (обозначается $\dim V$). Если линейное пространство имеет конечный базис, его размерность конечна и оно называется конечномерным, в противном случае его размерность бесконечна, и пространство называется бесконечномерным.

Выбранный базис линейного пространства позволяет ввести координатное представление векторов, чем подготавливается использование аналитических методов.

Линейное отображение из одного линейного пространства в другое однозначно определено, если задано на векторах какого-нибудь базиса. Комбинация этого факта с возможностью координатного представления векторов предопределяет применение матриц для изучения линейных отображений векторных пространств (в первую очередь — конечномерных). При этом многие факты из теории матриц получают наглядное представление и приобретают весьма содержательный смысл, когда они выражены на языке линейных пространств. И выбор базиса при этом служит хоть и вспомогательным, но в то же время ключевым средством.

Примеры

• Векторы $e_1, e_2,\dots,e_n$ пространства $\R^n$ образуют базис тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, не равен 0: $\det\{e_1, e_2,\dots,e_n\} \neq 0$.
• В пространстве всех многочленов над полем один из базисов составляют степенные функции: $1, x, x^2,\dots,x^n,\dots$.
• Понятие базиса используется в бесконечномерном случае, например вещественные числа образуют линейное пространство над рациональными числами и оно имеет континуальный базис Гамеля и, соответственно, континуальную размерность.

Базис Гамеля и разрывная линейная функция

Базис Гамеля может быть использован для построения разрывной вещественной функции, удовлетворяющей условию $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Пусть $\{r_\alpha\}$ — базис Гамеля множества действительных чисел $\mathbb{R}$ над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$. Тогда для каждого $x = k_{\alpha_1} r_{\alpha_1} + \cdots + k_{\alpha_n} r_{\alpha_n}$ ($k_i \in \mathbb{Q}$) положим $f(x) = k_{\alpha_1} + \cdots + k_{\alpha_n}$. Функция $f(x)$ линейна по построению, однако не может быть непрерывной, так как принимает только рациональные значения.

Базис Шаудера

Система векторов $\{e_n\}$ топологического векторного пространства $L$ называется базисом Шаудера (в честь Шаудера (англ.)), если каждый элемент $f \in L$ разлагается в единственный, сходящийся к $f$ ряд по $\{e_n\}$:

$f= \sum_{i=1}^{\infty} f_i e_i ,$

где $f_i$ — числа, называемые коэффициентами разложения вектора $f$ по базису $\{e_n\}$.

Чтобы подчеркнуть отличие определения базиса Гамеля для общих линейных пространств (допускаются только конечные суммы) от базиса Шаудера для топологических векторных пространств (допускается разложение в сходящийся ряд), для первого часто используют термин линейный базис, оставляя термин базис для разложений в ряды. Мощность линейного базиса называют также линейной размерностью. В конечномерных пространствах эти определения совпадают из-за конечности базиса. В бесконечномерных пространствах эти определения существенно различаются и линейная размерность может быть строго больше мощности базиса Шаудера.

Например, никакое бесконечномерное Гильбертово пространство не имеет счетного линейного базиса, хотя может иметь счетные базисы Шаудера с разложением в ряд, в том числе, ортонормированные базисы. Все ортонормированные базисы Гильбертовых пространств являются базисами Шаудера, например, множество функций $\{1,\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2\pi nx), \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(2\pi nx)\mid n=1,2,\dots\}$ является базисом Шаудера в пространстве $L^2[0,1]$. В более общих банаховых пространствах понятие ортонормированного базиса неприменимо, но часто удаётся построить базисы Шаудера, не использующие ортогональности.

Пример: базис Шаудера для пространства непрерывных функций $C[a,b]$

$C[a,b]$ — банахово пространство с нормой $\|f\| = \max_{x \in [a,b]}|f(x)|$. Для разложений в ряды Фурье и обобщенные ряды Фурье по ортонормированным системам функций легко доказывается сходимость в Гильбертовом пространстве $L^2[a,b]$, но не в $C[a,b]$. Шаудер сконструировал базис Шаудера $\{e_n\}$ для $C[a,b]$. Пусть $\{x_0, x_1,\dots,x_n,\dots\}$ — плотное счетное множество точек на $[a,b]$, $x_0=a$, $x_1=b$, остальные точки могут быть, например, всеми рациональными точками отрезка $[a,b]$, упорядоченными произвольным образом. Положим: $e_0=1$, $e_1=(x-a)/(b-a)$ — линейная функция. Определим кусочно-линейную функцию $e_n(x)$ так, чтобы $e_n(x_i)=0$ при $i=0,1,\dots,n-1$ и $e_n(x_n)=1$. Точки $x_0, x_1, x_2,\dots,x_{n-1}$ разбивают $[a,b]$ на $n-1$ отрезок. Точка $x_n$ лежит строго внутри одного из них. Пусть это $I_n=[x_j,x_k]$ для каких-то $j, k \in \{0,\dots,n-1\}$ (порядок нумерации чисел $x_0, x_1, x_2,\dots$ не соответствует их величине).

Разложение непрерывной функции по базису Шаудера. Показано построение $L_{5}(x)$. Красным цветом на графике выделен участок, на котором $L_{5}$ отличается от $L_{4}$ (синяя ломаная).

Положим:

$e_n(x)=0$ вне отрезка $I_n=[x_j,x_k],$

$e_n(x)=\frac{x-x_j}{x_n-x_j}$ при $x \in [x_j,x_n],$

$e_n(x)=\frac{x_k-x}{x_k-x_n}$ при $x \in [x_n,x_k].$

Полученная система кусочно-линейных «шапочек» и есть искомый базис Шаудера. Коэффициенты разложения произвольной функции $f(x) \in C[a,b]$ по этому базису выражаются по явным реккурентным формулам через последовательность значений $f(x_i)$. Частичная сумма первых $n+1$ членов ряда

$L_n(x)= \sum_{i=0}^{n} f_i e_i(x) ,$

является в данном случае кусочно-линейной аппроксимацией $f(x)$ с узлами в точках $x_0, x_1, x_2,\dots,x_{n}$; формула для коэффициентов $f_n =f(x_n)-L_{n-1}(x_n); \; \; f_0=f(a)$ (см. Рис.)

Проблема базиса

Базисы Шаудера построены для большинства известных примеров банаховых пространств, однако проблема Банаха — Шаудера о существовании базиса Шаудера в каждом сепарабельном банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 году была решена отрицательно: существуют сепарабельные банаховы пространства без базиса Шаудера (контрпримеры Энфло, Шанковского, Дэви и Фигеля).

Применение в кристаллографии

В векторной алгебре с помощью векторного произведения и смешанного произведения определяется понятие взаимного базиса к базису в трёхмерном евклидовом пространстве и используется для доказательства некоторых утверждений, связанных со смешанным произведением и углами между векторами^[1]:212-214. В кристаллографии взаимный базис называется кристаллографическим определением базиса, на основе которого определяется обратная решётка.

См. также

• Репер — близкое понятие для пространств разной природы.
• Ортогональный базис — специальный класс базисов (базисов Шаудера) для пространств со скалярным произведением (Гильбертово пространство).
• Базис Грёбнера
• Базис Рисса
• Конечномерное пространство
• Флаг (математика)

Примечания

1. ↑ Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.

Литература

• Кутателадзе С. С., Основы функционального анализа. — 4 изд., испр. — Новосибирск: Изд-во Ин-та Математики СО РАН, 2001. — XII+354 c.