Связное множество

Курсив обозначает ссылку на этот словарь

# А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я

Б

• База топологии — набор открытых множеств, такой, что любое открытое множество является объединением множеств из базы.

В

• Внутренность — совокупность всех внутренних точек множества.
• Внутренняя точка множества — точка, у которой есть окрестность, содержащаяся в данном множестве.
• Выколотая окрестность точки p — это окрестность p с вырезанной p.
• Всюду плотное множество — множество, замыкание которого совпадает со всем пространством.

Г

• Гомеоморфизм — биекция f, такая, что f и f ^{− 1} непрерывны.
• Гомеоморфные пространства — пространства, между которыми существует гомеоморфизм.
• Гомотопия непрерывного отображения $f\colon X\to Y$ есть непрерывное отображение $F\colon[0,1]\times X\to Y$, такое, что F(0,x) = f(x) для любого $x\in X$. Часто используется обозначение f_t(x) = F(t,x), в частности f₀ = f
• Гомотопные отображения. Отображения $f,g\colon X\to Y$ называются гомотопными или $g\sim f$ если существует гомотопия f_t такая, что f₀ = f и f₁ = g.
• Гомотопическая эквивалентность топологических пространств X и Y есть пара непрерывных отображений $f\colon X\to Y$ и $g\colon Y\to X$ такая, что $f\circ g\sim \mathrm{id}_Y$ и $g\circ f\sim \mathrm{id}_X$, здесь $\sim$ обозначает гомотопическую эквивалентность отображений. В этом случае говорят, что X и Y гомотопически эквивалентны, или X с Y имеют один гомотопический тип.
• Гомотопический инвариант — это характеристика пространства, которая сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств. То есть, если два пространства гомотопически эквиваленты, то они имеют ту же характеристику. Например: связанность, фундаментальная группа, эйлерова характеристика.
• Гомотопический тип — см. гомотопическая эквивалентность.
• Граница. Смотри относительная граница или граница многообразия.
• Граница многообразия. Смотри многообразие.

Д

• Деформационный ретракт
• Дискретная топология. Топология, в которой любое множество открыто.
• Дискретное множество. Множество, каждая точка которого является изолированной.
• Дикий узел

З

• Замкнутое множество — дополнение к открытому.
• Замкнутое отображение — такое отображение, что образ любого замкнутого множества замкнут.
• Замыкание. Минимальное замкнутое множество, содержащее данное.

И

• Индуцированная топология — топология на подмножестве A топологического пространства, открытыми множествами в которой считаются пересечения открытых множеств объёмлющего пространства с A.
• Изолированная точка множества A топологического пространства X — такая точка $a\in A$, что пересечение некоторой её окрестности с A состоит из единственной точки a.

К

• Категория Бэра
• Компактное пространство
• Компонента связности точки есть максимальное связное множество, содержащее эту точку.
• Континуум — связное компактное хаусдорфово топологическое пространство.
• Конус над топологическим пространством X (называемым основанием конуса) — пространство CX, получающееся из произведения $X\times[0,\;1]$ стягиванием подпространства $X\times\{0\}$ в одну точку, называемую вершиной конуса.
• Край многообразия, см. многообразие
• Кривая есть непрерывное отображение связного подмножества вещественной прямой.

Л

• Линейно связное пространство. Пространство, в котором любую пару точек можно соединить кривой.
• Локально компактное пространство. Пространство, в котором любая точка имеет компактную окрестность.
• Локально связное пространство. Пространство, в котором любая точка имеет связную окрестность.
• Локально стягиваемое пространство. Пространство, в котором любая точка имеет стягиваемую окрестность.
• Локальный гомеоморфизм — отображение $f:X\to Y$ топологических пространств, такое, что для каждой точки $x\in X$ найдется окрестность U_x, которая посредством f отображается в Y гомеоморфно. Иногда в определение локальный гомеоморфизм автоматически включается требование f(X) = Y и, кроме того, отображение f предполагается открытым.

М

• Массивное множество ― подмножество S топологического пространства X, являющееся пересечением счётного числа открытых плотных в X подмножеств. Если каждое массивное множество плотно в X, то X является пространством Бэра.
• Метризуемое пространство. Пространство, гомеоморфное метрическому пространству.
• Многообразие
• Многосвязная область линейно связного пространства — область, фундаментальная группа которой не тривиальна.
• Множество Бореля есть множество из Борелевской сигма-алгебры
• Множество второй категории. Любое множество, которое не является множеством первой категории.
• Множество первой категории. Множество, которое можно представить как счётное объединение нигде не плотных множеств.

Н

• Накрытие
• Непрерывное отображение — такое отображение, при котором прообраз любого открытого множества открыт.
• Нигде не плотное множество — множество, замыкание которого не содержит открытых множеств.

О

• О́бласть — открытое связное подмножество топологического пространства.
• Односвя́зное простра́нство — связное пространство, любое отображение окружности в которое гомотопно постоянному отображению.
• Окрестность — открытая окрестность или множество, содержащее открытую окрестность.
• Откры́тая окре́стность точки или множества — открытое множество, содержащее точку или множество.
• Откры́тое мно́жество основное понятие общей топологии, смотри Топологическое пространство.
• Откры́тое отображе́ние — такое отображение, что образ любого открытого множества открыт.
• Относи́тельная грани́ца. Пересечение замыкания подмножества топологического пространства с замыканием его дополнения. Граница множества E обычно обозначается $\partial E$.
• Относи́тельная топология — то же, что Индуцированная топология.
• Относи́тельно компа́ктное мно́жество — подмножество M топологического пространства T называется относительно компактным или предкомпа́ктным если его замыкание компактно.

П

• Паракомпактное пространство — топологическое пространство, из любого открытого покрытия которого можно выделить локально конечное подпокрытие (то есть такое, что для любой точки можно найти окрестность пересекающуюся с конечным числом элементов этого подпокрытия).
• Плотное множество
• Подпокрытие покрытия {V_α}, $\alpha\in A$ — это покрытие {V_β}, где $\beta\in B\subset A$.
• Подпространство — подмножество топологического пространства, снабжённое индуцированной топологией.
• Покрытие подмножества или пространства X — это представление его в виде объединения множеств {V_α}, $\alpha\in A$, точнее это набор множеств {V_α}, $\alpha\in A$ такой что $X\subset \bigcup_{\alpha\in A} V_\alpha$. Чаще всего рассматривают открытые покрытия, то есть предпологают что все {V_α} являются откытыми множествами.
• Предбаза — семейство Y открытых подмножеств топологпческого пространства X такое, что совокупность всех множеств, являющихся пересечением конечного числа элементов Y, образует базу X.
• Предельная точка подмножества A топологического пространства X — такая точка $a\in X$, что в любой её выколотой окрестности с A есть хотя бы одна точка из A.
• Производное множество — совокупность всех предельных точек.

Р

• Разбиение единицы

С

• Связное пространство. Пространство, которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся (<=> dis, дизъюнктное) открытых множества.
• Сепарабельное пространство — топологическое пространство, в котором имеется счётное всюду плотное множество.
• Стягиваемое пространство — пространство, гомотопически эквивалентное точке.

T

• Топологический инвариант — характеристика пространства, которая сохраняется при гомеоморфизме. То есть если два пространства гомеоморфны то они имеют ту же характеристику. Например: компактность, связанность, фундаментальная группа, Эйлерова характеристика.
• Топологическое пространство
• Топология компактной сходимости. Топология, заданная на множестве непрерывных вещественных функций, определяемая семейством преднорм $p_n(x)=\sup_{-n\leq t\leq t}|x(t)|, n\in\mathbb N,$ называется топологией компактной сходимости.
• Топология равномерной сходимости. Пусть на векторном пространстве L(K) непрерывных функций f на компактном топологическом пространстве K определена норма $||f||=\sup_{x\in K}|f(x)|$. Топология, порождённая такой метрикой называтеся топологией равномерной сходимости.
• Точка накопления множества M — точка топологического пространства, в любой проколотой окрестности которой содержится хотя бы одна точка M.
• Точка полного накопления множества M ― точка $x\in M$ в топологическом пространстве X такая, что пересечение M с любой окрестностью x имеет мощность ту же, что и все множество M.
• Точка прикосновения подмножества M топологического пространства — точка, любая окрестность которой содержит хотя бы одну точку из M. Множество всех точек прикосновения совпадает с замыканием $\overline{M}$.

Ф

• Факторпространство топологическое
• Фундаментальная группа

Х

• Хаусдорфово пространство. Топологическое пространство X называется хаусдорфовым, если любые две различных точки x и y из X обладают непересекающимися окрестностями.

Литература

• Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры.
• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: ГИИТЛ, 1948
• Келли Дж. Л. Общая топология. М.: Наука, 1968
• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев. Задачный учебник по топологии