Категория Бэра

У этого термина существуют и другие значения, см. Бэр.

Категория Бэра — один из способов различать «большие» и «маленькие» множества. Подмножество топологического пространства может быть первой или второй категории Бэра.

Названа в честь французского математика Рене-Луи Бэра.

Определения

• Топологические пространства, допускающие счётное покрытие нигде не плотными подмножествами, относятся к пространствам первой категории Бэра, не допускающие такого покрытия — к пространствам второй категории Бэра.
• Подмножество топологического пространства $X$, которое можно представить в виде счётного объединения нигде не плотных в $X$ множеств, называется множеством первой категории Бэра в пространстве $X$.
• Множество, которое нельзя представить в таком виде, называется множеством второй категории Бэра в пространстве $X$.
• Топологическое пространство, в котором любое множество первой категории нигде не плотно, называется пространством Бэра.

Свойства

Для целей анализа удобно, когда рассматриваемое пространство относится ко второй категории Бэра, так как отнесение к этой категории равносильно справедливости теорем существования, таких как:

1. Если пространство второй категории Бэра покрыто счётным семейством замкнутых множеств, то хотя бы одно из них имеет внутреннюю точку (теорема существования внутренней точки).
2. В пространстве второй категории Бэра всякое счётное семейство открытых всюду плотных множеств имеет непустое пересечение (теорема существования общей точки).

Если всё-таки пространство относится к первой категории Бэра, из этого можно получить лишь результаты отрицательного характера — например, всякая метрика на этом пространстве, совместимая с топологией, неполна, а замыкание любого (непустого) открытого подмножества некомпактно. По этой причине, например, пространство многочленов неполно в любой метрике, в которой оно является топологическим векторным пространством (счётномерное векторное пространство во всякой векторной топологии относится к первой категории Бэра).

Применение категорий Бэра к подмножествам заданного топологического пространства имеет смысл, если объемлющее пространство относится ко второй категории Бэра (иначе все подмножества будут первой категории в данном пространстве). Грубо говоря, множества первой категории считаются «маленькими» («тощими»), а второй — «большими» («тучными»).

В этом смысле понятие категории напоминает понятие меры, однако в отличие от меры, категория подмножества зависит только от топологии объемлющего пространства.

Это делает удобным её применение в пространствах без естественно определённой меры. Например, используя категорию, можно придать точный смысл таким понятиям, как «почти все компактные выпуклые подмножества евклидова пространства».

Теорема Бэра

Теорема. Полные метрические пространства и локально компактные хаусдорфовы пространства относятся к пространствам второй категории Бэра.

Для доказательства достаточно показать, что всякое счётное семейство открытых всюду плотных множеств $G_k\;(k=1,\;2,\;\ldots)$ имеет непустое пересечение.

В случае полного метрического пространства индуктивно строится последовательность шаров $B_k$ такая, что при каждом $k$ $\bar{B}_{k+1}\subset B_k\cap G_k$ и радиус шара $B_k$ был бы меньше, чем $2^{-k}$. Последовательность стягивающихся замкнутых шаров имеет непустое пересечение в силу полноты пространства, и общая точка этих шаров будет общей и для множеств $G_k$.

В случае локально компактного хаусдорфова пространства индуктивно строится последовательность открытых множеств $B_k$ такая, что при каждом $k$ $\bar{B}_{k+1}\subset B_k\cap G_k$ и замыкание множества $B_k$ компактно. Тогда последовательность множеств $\bar B_k$ образует центрированную систему замкнутых подмножеств в компактном хаусдорфовом пространстве $\bar{B}_1$ и потому имеет непустое пересечение.

Пример. В качестве приложения категорий Бэра, можно показать, что множество иррациональных точек $\R\setminus\Q$ не может быть множеством всех точек разрыва никакой функции на числовой прямой. Множество всех точек разрыва любой функции $f$ на $\R$ является счётным объединением замкнутых множеств $E_n$, состоящих из тех точек, в которых колебание функции $f$ не меньше, чем $1/n$. Если бы искомая функция существовала, множества $E_n$ были бы нигде не плотными, так как их объединение не имеет внутренних точек. Из этого получалось бы, что множество $\R\setminus\Q$ первой категории в $\R$, а так как его дополнение тоже имеет первую категорию, то и всё пространство $\R$ было бы первой категории, что противоречит его полноте.

Ссылки

• Окстоби Дж. Мера и категория. — Перев. с англ. — М.: Мир, 1974. — 157 с.