- Факторпространство
-
Пусть на множестве задано отношение эквивалентности . Тогда множество всех классов эквивалентности называется фактор-множеством и обозначается . Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией.
Отображение из в множество классов эквивалентности называется фактор-отображением.
Содержание
Факторпространство по подпространству
Часто отношение эквивалентности вводят следующим образом. Пусть — линейное пространство, а — некоторое линейное подпространство. Тогда два элемента таких, что , называются эквивалентными. Это обозначается . Получаемое в результате факторизации пространство называют факторпространством по подпространству . Если разлагается в прямую сумму , то существует изоморфизм из в . Если — конечномерное пространство, то факторпространство также является конечномерным и .
Примеры
Факторизацию множества разумно применять для получения нормированных пространств из полунормированных, пространств со скалярным произведением из пространств с почти скалярным произведением и пр. Для этого вводится соответственно норма класса, равная норме произвольного его элемента, и скалярное произведение классов как скалярное произведение произвольных элементов классов. В свою очередь отношение эквивалентности вводится следующим образом (например для образования нормированного факторпространства): вводится подмножество исходного полунормированного пространства, состоящее из элементов с нулевой полунормой (кстати, оно линейно, то есть является подпространством) и считается, что два элемента эквивалентны, если разность их принадлежит этому самому подпространству.
Если для факторизации линейного пространства вводится некоторое его подпространство и считается, что если разность двух элементов исходного пространства принадлежит этому подпространству, то эти элементы эквивалентны, то фактормножество является линейным пространством и называется факторпространством.
Примеры
- Проективную плоскость можно определить как факторпространство двумерной сферы, задав отношение эквивалентности .
- Бутылку Клейна можно представить как факторпространство цилиндра по отношению эквивалентности ( — угловая координата на окружности).
См. также
Категория:- Теория множеств
Wikimedia Foundation. 2010.