Гомотопия

Гомото́пия — непрерывное семейство отображений $F_t\colon X\to Y,\; t\in [0,1]$.

Определение

Пусть $X$ и $Y$ суть топологические пространства. Гомотопией называется непрерывное отображение $F\colon[0,1]\times X\to Y$.

При этом значение $F(t,x)$ чаще обозначается $F_t(x)$.

Связанные определения

Гомотопическая эквивалентность бублика и кружки

• Гомотопные отображения. Отображения $f,g\colon X\to Y$ называются гомотопными или $g\sim f$ если существует гомотопия $f_t$ такая, что $f_0=f$ и $f_1=g$.
• Гомотопическая эквивалентность топологических пространств $X$ и $Y$ есть пара непрерывных отображений $f\colon X\to Y$ и $g\colon Y\to X$ такая, что $f\circ g\sim\operatorname{id}_Y$ и $g\circ f\sim\operatorname{id}_X$, здесь $\sim$ обозначает гомотопическую эквивалентность отображений. В этом случае говорят, что $X$ и $Y$ гомотопически эквивалентны, или $X$ с $Y$ имеют один гомотопический тип.
• Гомотопический инвариант — это характеристика пространства, которая сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств. То есть, если два пространства гомотопически эквиваленты, то они имеют одинаковую характеристику. Например: связность, фундаментальная группа, эйлерова характеристика.
• Отображение $f\colon X\to Y$ называется слабой гомотопической эквивалентностью если оно индуцирует изоморфизм гомотопических групп.
  • Подпространство $A$ топологического пространства $X$ такое, что включение $A\subset X$ является слабой гомотопической эквивалентностью называется репрезентативным подпространством.
• Если на некотором подмножестве $A\subset X,\; F(t,a)=f(a)$ для всех $t$ при $a\in A$, то $F$ называется гомотопией относительно $A$, а $f$ и $g$ гомотопными относительно $A$.
• Изотопия — гомотопия топологического пространства $X$ по топологическому пространству $Y$ есть гомотопия $f_t\colon X\to Y,\; t\in[0,1]$, в которой при любом $t$ отображение $f_t$ является гомеоморфизмом $X$ на $f(X)\subset Y$.

Свойства

• Гомотопия задаёт отношение эквивалентности между непрерывными отображениями $X\to Y$

Литература

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971

См. также

• Гомотопические группы
• Фундаментальная группа
• Цепная гомотопия