Фундаментальная группа

Фундамента́льная гру́ппа — определённая группа, которая сопоставляется топологическому пространству. Грубо говоря, эта группа измеряет количество «дырок» в пространстве. Наличие «дырки» определяется невозможностью непрерывно продеформировать некоторую замкнутую кривую в точку.

Определение

Пусть $X$ — топологическое пространство с отмеченной точкой $x_0\in X$. Рассмотрим множество петель в $X$ из $x_0$; то есть множество непрерывных отображений $f\colon [0,1] \to X$, таких что $f(0) = x_0 = f(1)$. Две петли $f$ и $g$ считаются эквивалентными, если они гомотопны друг другу в классе петель, то есть найдется соединяющая их гомотопия $f_t$, удовлетворяющая свойству $f_t(0) = x_0 = f_t(1)$. Соответствующие классы эквивалентности называются гомотопическими классами. Произведением двух петель называется петля, определяемая их последовательным прохождением:

$(f*g)(t) = \begin{cases} f(2t), ~ t\in [0, {1 \over 2}] \\ g(2t-1), ~ t\in [{1 \over 2},1] \end{cases}$

Произведением двух гомотопических классов $[f]$ и $[g]$ называется гомотопический класс $[f*g]$ произведения петель. Можно показать, что он не зависит от выбора петель в классах. Множество гомотопических классов петель с таким произведением становится группой. Эта группа и называется фундаментальной группой пространства $X$ с отмеченной точкой $x_0$ и обозначается $\pi_1(X,x_0)$.

Комментарии

• Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении.
• Вообще говоря произведение петель не ассоциативно. Тем не менее индуцированное произведение на классах эквивалентности ассоциативно.
• Если $X$ — линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки. Поэтому для таких пространств можно писать $\pi_1(X)$ вместо $\pi_1(X,x_0)$ не боясь вызвать путаницу. Однако для двух точек $x, y \in X$ канонический изоморфизм между $\pi_1(X, x)$ и $\pi_1(X, y)$ существует лишь если фундаментальная группа абелева.

Связанные определения

• Каждое непрерывное отображение пунктированных пространств $\varphi: (X, x_0) \to (Y, \varphi(x_0))$ индуцирует отображение $\varphi_* = \pi_1 \varphi: \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, \varphi(x_0))$, определяемое формулой $\varphi_*[f] = [\varphi f]$. $\varphi_*$ зависит только от гомотопического класса $\varphi$, и выполняются равенства $(\varphi \psi)_* = \varphi_* \psi_*$ и $(1_{(X, x_0)})_* = 1_{\pi(X, x_0)}$. Таким образом, взятие фундаментальной группы вместе с описанной операцией образует функтор $\pi_1: \mathbf{hTop} \to \mathbf{Grp}$.

• Пространство $X$ называется односвязным, если оно линейно связно и группа $\pi_1(X)$ тривиальна (состоит только из единицы).

Примеры

• В $\R^n$, есть только один гомотопический класс петель. Следовательно, фундаментальная группа тривиальна, $\pi_1(\mathbb{R}^n) = 1$. То же самое верно и для любого пространства-выпуклого подмножества $\mathbb{R}^n$

• В одномерной сфере $\mathbb S^1$ (окружности), каждый гомотопический класс состоит из петель, которые навиваются на окружность заданное число раз, которое может быть положительным или отрицательным в зависимости от направления. Следовательно, фундаментальная группа одномерной сферы изоморфна аддитивной группе целых чисел $\mathbb{Z}$.

• Фундаментальная группа $n$-мерной сферы $\mathbb S^n$ тривиальна при всех $n\ge 2$.

• Фундаментальная группа ориентированной замкнутой поверхности рода $g$ может быть задана образующими $a_1,\dots,a_g,b_1,\dots,b_g$ с единственным соотношением: $a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\dots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}=1$.

Свойства

• Фундаментальная группа пространства зависит только от его гомотопического типа.
  • Обратное верно для линейно связных асферических пространств (англ.), см. также пространство Эйленберга — Маклейна (англ.).

• Если $A$ — ретракт $X$, содержащий отмеченную точку $x_0$, то гомоморфизм $i_*: \pi_1(A, x_0) \to \pi_1(X, x_0)$, индуцированный вложением $i: A \hookrightarrow X$, инъективен.
  • В частности, фундаментальная группа компоненты линейной связности $X$, содержащей отмеченную точку, изоморфна фундаментальной группе всего $X$.
  • Если $A$ — строгий деформационный ретракт $X$, то $i_*: \pi_1(A, x_0) \to \pi_1(X, x_0)$ является изоморфизмом.

• $\pi_1$ сохраняет произведение: для любой пары топологических пространств с отмеченными точками $(X,x_0)$ и $(Y,y_0)$ существует изоморфизм

  $\pi_1(X\times Y,(x_0,y_0)) \cong \pi_1(X,x_0)\times\pi_1(Y,y_0),$

естественный по $(X, x_0)$ и $(Y, y_0)$.

• Теорема ван Кампена (англ.): Если $X$ — объединение линейно связных открытых множеств $A_\alpha$, каждое из которых содержит отмеченную точку $x_0 \in X$, и если каждое пересечение $A_\alpha \cap A_\beta$ линейно связно, то гомоморфизм $\Phi: \ast_\alpha \pi_1(A_\alpha) \to \pi_1(X)$, индуцированный вложениями $A_\alpha \hookrightarrow X$, сюрьективен. Кроме того, если каждое пересечение $A_\alpha \cap A_\beta \cap A_\gamma$ линейно связно, то ядро гомоморфизма $\Phi$ — это наименьшая нормальная подгруппа $N$, содержащая все элементы вида $i_{\alpha \beta}(\omega) i_{\beta \alpha}(\omega)^{-1}$ (где $i_{\alpha \beta}$ индуцирован вложением $A_\alpha \cap A_\beta \hookrightarrow A_\alpha$), а потому $\Phi$ индуцирует изоморфизм $\pi_1(x) \cong \ast_\alpha \pi_1(A_\alpha)/N$ (первая теорема об изоморфизме).^[1] В частности,
  • $\pi_1$ сохраняет копроизведения: $\pi_1(\bigvee_\alpha X_\alpha) \cong \ast_\alpha \pi_1(X_\alpha)$ естественно по всем $X_\alpha$.
  • (случай двух $A_\alpha$): условие для тройных пересечений становится излишним, и получается, что $\pi_1(A_1 \cup A_2) \cong \pi_1(A_1) \mathbin{\ast_{\pi(A_1 \cap A_2)}} \pi_1(A_2)$, что является ограниченной (случаем линейно связного $A_1 \cap A_2$) формой сохранения толчков.

• Свободные группы и только они могут быть реализованы как фундаментальные группы графов (действительно, стягивание остовного дерева в точку реализует гомотопическую эквивалентность графа и букета окружностей, также можно применить теорему ван Кампена).
• Произвольная группа может быть реализована как фундаментальная группа двумерного клеточного комплекса.
• Произвольная конечно заданная группа может быть реализована как фундаментальная группа замкнутого 4-мерного многообразия.
• Фундаментальная группа пространства действует сдвигами на универсальном накрытии этого пространства.

Вариации и обобщения

• Фундаментальная группа является первой из гомотопических групп.
• Фундаментальным группоидом пространства $X$ называют группоид $\Pi(X)$, объектами которого являются точки $X$, а морфизмами — гомотопические классы путей с композицией путей. При этом $\pi_1(X, x_0) \cong \operatorname{Aut}_{\Pi(X)}x_0$, и если $X$ линейно связно, то вложение $\pi_1(X, x_0) \hookrightarrow \Pi(X)$ является эквивалентностью категорий (англ.).

Примечания

1. ↑ А. Хатчер, Алгебраическая топология, М.: МЦНМО, 2011.

Литература

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7
• Матвеев С. В. Фундаментальная группа: Лекции по курсу «Топология». — Челябинск: ЧелГУ, 2001. — 16 с. (есть pdf)