Группоид (теория категорий)

У этого термина существуют и другие значения, см. Группоид.

В теории категорий группо́ид — это категория, в которой все морфизмы являются изоморфизмами. Группоиды можно рассматривать как обобщение групп. А именно, категория, соответствующая группе $G$, имеет ровно один объект и по одной стрелке для каждого элемента $g$ из $G$. Композиция стрелок задаётся как умножение соответствующих элементов в группе. Видно, что при этом каждая стрелка является изоморфизмом. Таким образом множество стрелок группоида можно рассматривать как некоторое множество с частично определённой бинарной операцией умножения, так что для каждого элемента существуют левый и правый обратный, а также левая и правая единица по умножению.

Группоиды естественно заменяют в теории категорий группы симметрий и возникают при классификации классов изоморфных объектов.

Примеры

• Любая категория, являющаяся группой, является группоидом.

• Пусть $C$ — произвольная категория, а $D \hookrightarrow C$ — подкатегория, объекты которой совпадают с объектами $C$, а морфизмами являются всевозможные изоморфизмы в $C$. Тогда $D$ — группоид.

• Пусть $X$ — линейно связное топологическое пространство. Тогда его фундаментальный группоид $\Pi_1(X)$ — это 2-категория, объектами которой являются все точки из $X$, а стрелки из $x\in X$ в $y\in X$ соответствуют всевозможным (геометрическим) путям из $x$ в $y$:

$f\colon [0;1] \to X, ~ f(0) = x,\; f(1)=y$

Две функции $f$ и $g$ задают один и тот же путь если существует $s: [0;1] \to [0;1]$, так что $f = g \circ s$ или $g = f \circ s$. Композиция стрелок задаётся композицией путей:

$fg(t) = \begin{cases} f(2t),\; 0\leqslant t \leqslant 1/2 \\ g(2t-1),\; 1/2 \leqslant t \leqslant 1 \end{cases}$

2-морфизм из $f$ в $g$ — это гомотопия из $f$ в $g$. Фундаментальный группоид является категорификацией фундаментальной группы. Его преимущество в том, что в пространстве не требуется выбор отмеченной точки, так что не возникает проблем с неканоничностью изоморфизма фундаментальных групп в разных точках или с пространствами, имеющими несколько компонент связности. Фундаментальная группа петель из точки $x \in X$ возникает как группа 2-изоморфных автоморфизмов объекта $x\in \Pi_1(X)$.

• Категория векторных расслоений ранга $n$ над стягиваемым пространством с невырожденными отображениями естественно образует группоид. Это замечание лежит в основе введения понятия джерба (англ.) (который является частным случаем стека (англ.)), представляющего собой структуру на категории пучков заданного типа. Джербы являются геометрическими объектами, классифицируемыми группами когомологий $H^2(X,\mathcal{G})$, где $\mathcal{G}$ — пучок групп на $X$. Понятие особенно важно в случае неабелевых групп $\mathcal{G}$.

См. также

• Группоид (алгебра)‎