Нормальная подгруппа

Группа (математика)

Теория групп

Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа (полу-)Прямое произведение Топологические группы Группа Ли Ортогональная группа O(n) Специальная унитарная группа SU(n) G2 F4 E6 Группа Лоренца Группа Пуанкаре

См. также: Портал:Физика

Норма́льная подгру́ппа (также инвариа́нтная подгру́ппа) — подгруппа особого типа, у которой левый и правый смежные классы совпадают. Такие группы важны, поскольку позволяют строить факторгруппу.

Определения

Подгруппа $N$ группы $G$ называется нормальной, если она инвариантна относительно сопряжений, то есть для любого элемента $n$ из $N$ и любого $g$ из $G$, элемент $g n g^{-1}$ лежит в $N$:

$N \triangleleft G\, \iff\, \forall\, n\in N, g\in G \,$ $gng^{-1}\in{N}$

Следующие условия нормальности подгруппы эквивалентны:

1. Для любого $g$ из $G$, $gNg^{-1} \sube N$.
2. Для любого $g$ из $G$, $gNg^{-1} = N$.
3. Множества левых и правых смежных классов $N$ в $G$ совпадают.
4. Для любого $g$ из $G$, $gN = Ng$.
5. $N$ — объединение классов сопряженных элементов.

Условие (1) логически слабее, чем (2), а условие (3) логически слабее, чем (4). Поэтому условия (1) и (3) часто используются при доказательстве нормальности подгруппы, а условия (2) и (4) используются для доказательства следствий нормальности.

Примеры

• $\{ e \}$ и $G$ — всегда нормальные подгруппы $G$. Они называются тривиальными. Если других нормальных подгрупп нет, то группа $G$ называется простой.

• Центр группы — нормальная подгруппа.

• Коммутант группы — нормальная подгруппа.

• Любая характеристическая подгруппа нормальна, так как сопряжение — это всегда автоморфизм.

• Все подгруппы $N$ абелевой группы $G$ нормальны, так как $g N = N g$. Неабелева группа, у которой любая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой.

• Группа параллельных переносов в пространстве любой размерности — нормальная подгруппа евклидовой группы; например, в трёхмерном пространстве поворот, сдвиг и поворот в обратную сторону приводит к простому сдвигу.

• В группе кубика Рубика, подгруппа, состоящая из операций, действующих только на угловые элементы, нормальна, так как никакое сопряжённое преобразование не заставит такую операцию действовать на краевой, а не угловой элемент. Напротив, подгруппа, состоящая лишь из поворотов верхней грани, не нормальна, так как сопряжения позволяют переместить части верхней грани вниз.

Свойства

• Нормальность сохраняется при сюрьективных гомоморфизмах и взятии обратных образов.
• Ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа.
• Нормальность сохраняется при построении прямого произведения.
• Нормальная подгруппа нормальной подгруппы не обязана быть нормальной в группе, то есть нормальность не транзитивна. Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы нормальна.
• Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. Если $p$ — наименьший простой делитель порядка $G$, то любая подгруппа индекса $p$ нормальна.
• Если $N$ — нормальная подгруппа в $G$, то на множестве левых (правых) смежных классов $G / N$ можно ввести групповую структуру по правилу

$(g_1 N)(g_2 N)=(g_1 g_2)N$

Полученное множество называется факторгруппой $G$ по $N$.

• $N$ нормальна тогда и только тогда, когда она тривиально действует на левых смежных классах $G / N$.

Исторические факты

Эварист Галуа первым понял важность нормальных подгрупп.

Ссылки

• Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.:Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
• Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6