Полупрямое произведение

Полупрямое произведение — конструкция в теории групп, позволяющая строить новую группу по двум группам $H$ и $N$, и действию $\phi$ группы $H$ на группе $N$ автоморфизмами.

Полупрямое произведение групп $N$ и $H$ над $\phi$ обычно обозначается $N\rtimes_\phi H$.

Конструкция

Пусть задано действие группы $H$ на пространстве группы $N$ с сохранением её групповой структуры. Это означает, что задан гомоморфизм $\phi: H \rightarrow \mbox{Aut}(N)$ группы $H$ в группу автоморфизмов группы $N$. Автоморфизм группы $N$, соответствующий элементу $h$ из $H$ при гомоморфизме $\phi$ обозначим $\phi_{h}$. В качестве группы $G$ — полупрямого произведения групп $H$ и $N$ над гомоморфизмом $\phi$ — берётся множество $N\times H$ c бинарной операцией $*$, действующей по правилу:

$(n_1, h_1) * (n_2, h_2) = (n_1\phi_{h_1}(n_2), h_1h_2)$ для любых $n_1,n_2 \in N$, $h_1,h_2 \in H$.

Свойства

1. Группы $H$ и $N$ естественно вложены в $G$, причём $N$ — нормальная подгруппа в $G$.
2. Каждый элемент $g\in G$ однозначно разложим в произведение $g=nh$, где $h$ и $n$ — элементы групп $H$ и $N$ соответственно. (Это свойство оправдывает название группы $G$ как полупрямого произведения групп $H$ и $N$.)
3. Заданное действие $\phi$ группы $H$ на группе $N$ совпадает с действием $H$ на $N$ сопряжениями (в группе $G$).

Всякая группа со свойствами 1—3 изоморфна группе $G$ (свойство универсальности полупрямого произведения групп).

Обоснование  

• Ассоциативность операции проверяется непосредственно. Используются соотношения

$\phi_{h_1}\circ\phi_{h_2}(n) = \phi_{h_1h_2}(n)$ и $\,\phi_{h}(n_1)\phi_{h}(n_2) = \phi_{h}(n_1n_2)$.

• Единицей группы G служит элемент $\,(1_N,1_H)$, где $1_N$ и $1_H$ - единицы в группах N и H соответственно.
  (Используется равенство $\phi_{1_H}(n) = n$.)
• Элемент, обратный к $\,(n,h)$, равен $(\,\phi_h^{-1}(n^{-1}),h^{-1})$.
  • Для доказательства того, что этот элемент обратен слева, используется равенство $\phi_h^{-1}(n^{-1}) = \phi_{h^{-1}}(n)^{-1}$.
• Отображения $n\to(n,1_H)$ и $h\to(1_N,h)$ гомоморфно вкладывают группы N и H в группу G. Их образы имеют единственный общий элемент - единицу группы G.
• Отображение $(n,h)\to h$ есть эпиморфизм группы G на группу H с ядром N. Отсюда следует, что группа N нормальна в G.
• Равенство $\,(n,h) = (n,1)*(1,h)$ даёт разложение произвольного элемента группы G в произведение элементов n и h из групп N и H соответственно. Из этого же равенства следует и единственность разложения.
• Равенство $(\phi_h(n),1) = (1,h)(n,1)(1,h)^{-1}$ показывает, что действие группы H на N, задаваемое гомоморфизмом $\phi$ совпадает с действием H на N сопряжениями.
• Чтобы доказать универсальное свойство полупрямого произведения, надо воспользоваться формулой $(n_1h_1)\cdot (n_2h_2) = n_1(h_1n_2h_1^{-1})\cdot (h_1h_2)$.
  Из неё следует, что произведение в группе G с однозначным NH-разложением (при условии нормальности группы N) полностью определяется правилами умножения внутри подгрупп N и H и правилами сопряжения элементов из N элементами из H.

Пример

Группа вычетов по модулю 4 ($\mathbb{Z}_4$) действует на $\mathbb{Z}_5$ (рассматриваемой как аддитивная группа соответствующего кольца) четырьмя разными способами:

$\phi_h(n) = a^h n$, где $a$ — фиксированный ненулевой элемент $\mathbb{Z}_5$, $h\in\mathbb{Z}_4$, $n\in\mathbb{Z}_5$.

Соответственно, на множестве $\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_4$ можно ввести 4 структуры группы — полупрямого произведения:

1. $(n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + n_2, h_1 + h_2)\,$
2. $(n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + (-1)^{h_1}n_2, h_1 + h_2)$
3. $(n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + 2^{h_1}n_2, h_1 + h_2)$
4. $(n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + 3^{h_1}n_2, h_1 + h_2)$

Можно показать, что последние две группы изоморфны, а остальные — нет, а также, что эти примеры перечисляют все группы порядка 20, содержащие элемент порядка 4 (при этом используются теоремы Силова).

Подобным образом полупрямое произведение групп используется вообще для классификации конечных групп.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7