- Замыкание (геометрия)
-
Замыка́ние — конструкция, дающая наименьшее замкнутое множество, содержащее данное множество топологического пространства.
Замыкание множества обычно обозначается
Содержание
Определения
Следующие два определения равносильны.
Как наименьшее замкнутое множество
Пусть есть подмножество тополочического пространства . Замыканием в называется пересечение всех замкнутых множеств содержащих .
Замечание. Поскольку пересечение произвольного семейства замкнутых множеств замкнуто, замыкание всегда замкнуто.
Через точки прикосновения
Точка тополочического пространства называется точкой прикосновения множества если любая окрестность содержит хотя бы одну точку множества .
Множество всех точек прикосновения называется замыканием .
Свойства
- Замыкание множества замкнуто.
- Замыкание множества содержит само множество, то есть
- .
- Замыкание множества содержит все его предельные точки.
- Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, то есть
- .
- Замыкание сохраняет отношение вложения, то есть
- Замыкание объединения есть объединение замыканий, то есть
- Замыкание пересечения является подмножеством пересечения замыканий, то есть
Примеры
Во всех нижеследующих примерах топологическим пространством является числовая прямая с заданной на ней стандартной топологией.
- ;
- , где — множество рациональных чисел.
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 13 мая 2011.Категории:- Общая топология
- Математический анализ
Wikimedia Foundation. 2010.