Метризуемое пространство

Метризуемое пространство — топологическое пространство, гомеоморфное некоторому метрическому пространству. Иначе говоря, пространство, топология которого порождается некоторой метрикой.

Если такая метрика существует, то она не единственна — за исключением тривиальных случаев: когда пространство пусто или состоит лишь из одной точки. Например, топология каждого метризуемого пространства порождается некоторой ограниченной метрикой.

Необходимые условия метризуемости

• В метризуемом пространстве выполняются сильные аксиомы отделимости: они нормальны и даже коллективно нормальны.
• Каждое метризуемое пространство паракомпактно.
• Все метризуемые пространства удовлетворяют первой аксиоме счётности.
• Для любого метризуемого пространства совпадают число Суслина, число Линделёфа, плотность, протяженность, вес.

Достаточное условие метризуемости

Каждое нормальное пространство (и даже каждое регулярное пространство) со счётной базой метризуемо. (Урысон и А. Н. Тихонов)

Эквивалентные условия метризуемости

Первый общий критерий метризуемости пространства был предложен в 1923 П. С. Александровым и Урысоном. На его основе были выработаны два следующих более совершенных критерия метризуемости:

• пространство метризуемо в том и только в том случае, когда оно коллективно нормально и обладает счётным измельчающимся множеством открытых покрытий;
• (критерий Стоуна — Архангельского) Пространство метризуемо, в том и только в том случае, когда оно обладает счётным фундаментальным множеством открытых покрытий и удовлетворяет $T_1$-аксиоме отделимости . При этом множество открытых покрытий пространства $X$ называется фундаментальным, если для каждой точки $x\in X$, каждой ее окрестности $U_x$ найдутся покрытие $\mathcal P$ и окрестность $O_x$ точки $x$ такие, что каждый элемент покрытия $\mathcal P$, пересекающийся с $O_x$, содержится в $U_x$.

На другой важной концепции — локальной конечности — основаны общие метризационные критерии.

• Критерий Нагаты — Смирнова: пространство $X$ метризуемо в том и только в том случае, если оно регулярно и обладает базой, распадающейся на счетное множество локально конечных семейств множеств.

Критерий Бинга аналогичен, но в нем вместо локально конечных фигурируют дискретные семейства множеств. Удобные варианты приведенных выше основных критериев метризуемости связаны с понятиями равномерной базы и регулярной базы. База $\mathcal B$ пространства $X$ называется регулярной (равномерной), если для всякой точки $x\in X$ и любой ее окрестности $O_x$ найдется окрестность $U_x$ этой точки такая, что число элементов базы $\mathcal B$, пересекающих одновременно $U_x$ и дополнение к $O_x$, конечно (соответственно, если множество элементов $\Omega\in \mathcal B$ таких что $\Omega\ni x$, $\Omega\not\subset O_x$ конечно).

• Пространство $X$ метризуемо тогда и только тогда, когда оно коллективно нормально и обладает равномерной базой.
• Для метризуемости $T_1$-пространства необходимо и достаточно, чтобы оно обладало регулярной базой.

Частные случаи

Метризационные критерии достигают простоты в ряде специальных классов пространств. Так, для метризуемости компакта $X$ любое из следующих трёх условий необходимо и достаточно:

• X обладает счетной базой;
• X обладает точечно-счетной базой;
• в X есть счётная сеть;

Для метризуемости пространства топологической группы необходимо и достаточно, чтобы в последнем выполнялась первая аксиома счётности — причем тогда пространство метризуемо инвариантной метрикой (например, по отношению к умножению слева).

О полноте

Не всякое метризуемое пространство метризуемо полной метрикой; таково, например, пространство рациональных чисел. Пространство метризуемо полной метрикой в том и только в том случае, если оно метризуемо и является множеством типа $G_\delta$ в некотором содержащем его компакте. Важным топологическим свойством пространств, метризуемых полной метрикой, является свойство Бэра: пересечение любого счетного семейства всюду плотных открытых множеств всюду плотно.

Вариации и обобщения

К метризуемым пространствам наиболее близки по свойствам моровские пространства — вполне регулярные пространства, обладающие счетным измельчающимся семейством открытых покрытий, и кружевные пространства.

Широкий спектр обобщений концепции метризуемого пространства получается, если варьировать аксиомы метрики, ослабляя их в том или ином отношении и рассматривая порожденные такими «метриками» топологии. На этом пути получаются симметризуемые пространства — путем отказа от аксиомы неравенства треугольника. В эту схему укладываются и моровские пространства. Другое важное обобщение концепции метризуемости связано с рассмотрением «метрик» со значениями в полуполях и других алгебраических образованиях общей природы.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.