Преобразование Лапласа

Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию $\ F(s)$ комплексного переменного (изображение) с функцией $\ f(x)$ вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Определение

Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной $\ f(t)$, называется функция $\ F(s)$ комплексной переменной $s=\sigma+i\omega$^[1], такая что:

$F(s)=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int\limits_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt.$

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного $F(s)\$, называется функция $f(t)\$ вещественной переменной, такая что:

$f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\sigma_1-i\cdot\infty}^{\sigma_1+i\cdot\infty} e^{st}F(s)\,ds,$

где $\sigma_1\$ — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Двустороннее преобразование Лапласа

Основная статья: Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции $f(x)\$ участвуют значения $x<0$.

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

$F(s)=\mathcal{L}\{f(x)\}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-sx}f(x)\,dx.$

Дискретное преобразование Лапласа

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.

Различают $D\$-преобразование и $Z\$-преобразование.

• $D\$-преобразование

Пусть $x_d(t)=\sum\limits_{n=0}^\infty x(nT)\cdot\delta(t-nT)$ — решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени $nT\$, где $n\$ — целое число, а $T\$ — период дискретизации.

Тогда применяя преобразование Лапласа получим:

$\mathcal{D}\{x_d(t)\}=\sum\limits_{n=0}^\infty x(nT)\cdot e^{-snT}.$

• $Z\$-преобразование

Основная статья: Z-преобразование

Если применить следующую замену переменных:

$z=e^{sT},$

получим $Z$-преобразование:

$\mathcal{Z}\{x_d(t)\}=\sum\limits_{n=0}^\infty x(nT)\cdot z^{-n}.$

Свойства и теоремы

• Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при $\sigma=\sigma_0$, то есть существует предел

$\lim_{b\to\infty}\int\limits_0^b |f(x)|e^{-\sigma_0 x}\,dx=\int\limits_0^\infty |f(x)|e^{-\sigma_0 x}\,dx,$

то он сходится абсолютно и равномерно для $\sigma\geqslant\sigma_0$ и $F(s)$ — аналитичная функция при $\sigma\geqslant\sigma_0$ ($\sigma=\mathrm{Re}\,s$ — вещественная часть комплексной переменной $s$). Точная нижняя грань $\sigma_a$ множества чисел $\sigma$, при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции $f(x)$.

• Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа $\mathcal{L}\{f(x)\}$ существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

1. $\sigma\geqslant 0$: преобразование Лапласа существует, если существует интеграл $\int\limits_0^\infty |f(x)|\,dx$;
2. $\sigma>\sigma_a$: преобразование Лапласа существует, если интеграл $\int\limits_0^{x_1} |f(x)|\,dx$ существует для каждого конечного $x_1>0$ и $|f(x)|\leqslant Ke^{\sigma_ax}$ для $x>x_2\geqslant 0$;
3. $\sigma>0$ или $\sigma>\sigma_a$ (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции $f'(x)$ (производная от $f(x)$) для $\sigma>\sigma_a$.

Примечание: это достаточные условия существования.

• Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

1. Если изображение $F(s)$ — аналитичная функция для $\sigma\geqslant\sigma_a$ и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=0$ для $t\leqslant 0$.
2. Пусть $F(s)=\varphi[F_1(s),\;F_2(s),\;\ldots,\;F_n(s)]$, так что $\varphi(z_1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n)$ аналитична относительно каждого $z_k$ и равна нулю для $z_1=z_2=\ldots=z_n=0$, и $F_k(s)=\mathcal{L}\{f_k(x)\}\;\;(\sigma>\sigma_{ak}\colon k=1,\;2,\;\ldots,\;n)$, тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

• Теорема о свёртке

Основная статья: Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

$\mathcal{L}\{f(x)*g(x)\}=\mathcal{L}\{f(x)\}\cdot\mathcal{L}\{g(x)\}.$

• Умножение изображений

$f(x)g(0)+\int\limits_0^x f(x-\tau)g'(\tau)\,d\tau=sF(s)G(s).$

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.

• Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

$\mathcal{L}\{f'(x)\}=s\cdot F(s)-f(0^+).$

В более общем случае (производная $n$-го порядка):

$\mathcal{L}\{f^{(n)}(x)\}=s^n\cdot F(s)-s^{n-1}f(0^+)-\ldots-f^{(n-1)}(0^+).$

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

$\mathcal{L}\left\{\int\limits_0^x f(t)\,dt\right\}=\frac{F(s)}{s}.$

• Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

$\mathcal{L}^{-1}\{F'(s)\}=-xf(x).$

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

$\mathcal{L}^{-1}\left\{\int\limits_s^{+\infty} F(s)\,ds\right\}=\frac{f(x)}{x}.$

• Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

$\mathcal{L}\{e^{ax}f(x)\}=F(s-a);$

$\mathcal{L}^{-1}\{F(s-a)\}=e^{ax}f(x).$

Запаздывание оригинала:

$\mathcal{L}\{f(t-a)H(t-a)\}=e^{-as}F(s);$

$\mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\}=f(x-a)H(x-a).$

Примечание: $H(x)$ — функция Хевисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):

$f(\infty)=\lim_{s\to 0}sF(s)$, все полюсы в левой полуплоскости.

Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, например, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

• Другие свойства

Линейность:

$\mathcal{L}\{af(x)+bg(x)\}=aF(s)+bG(s).$

Умножение на число:

$\mathcal{L}\{f(ax)\}=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right).$

Прямое и обратное преобразование Лапласа некоторых функций

Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций.

№	Функция	Временная область $x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\}$	Частотная область $X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}$	Область сходимости для причинных систем
1	идеальное запаздывание	$\delta(t-\tau)\$	$e^{-\tau s}\$
1a	единичный импульс	$\delta(t)\$	$1\$	$\forall s\$
2	запаздывание $n$-го порядка с частотным сдвигом	$\frac{(t-\tau)^n}{n!}e^{-\alpha(t-\tau)}\cdot H(t-\tau)$	$\frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}}$	$s>0\,$
2a	степенная $n$-го порядка	$\frac{t^n}{n!}\cdot H(t)$	$\frac{1}{s^{n+1}}$	$s>0\,$
2a.1	степенная $q$-го порядка	$\frac{t^q}{\Gamma(q+1)}\cdot H(t)$	$\frac{1}{s^{q+1}}$	$s>0\,$
2a.2	единичная функция	$H(t)\$	$\frac{1}{s}$	$s>0\,$
2b	единичная функция с запаздыванием	$H(t-\tau)\$	$\frac{e^{-\tau s}}{s}$	$s>0\,$
2c	«ступенька скорости»	$t\cdot H(t)\$	$\frac{1}{s^2}$	$s>0\,$
2d	$n$-го порядка с частотным сдвигом	$\frac{t^n}{n!}e^{-\alpha t}\cdot H(t)$	$\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}$	$s>-\alpha\,$
2d.1	экспоненциальное затухание	$e^{-\alpha t}\cdot H(t)\$	$\frac{1}{s+\alpha}$	$s>-\alpha\$
3	экспоненциальное приближение	$(1-e^{-\alpha t})\cdot H(t)\$	$\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}$	$s>0\$
4	синус	$\sin(\omega t)\cdot H(t)\$	$\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$	$s>0\$
5	косинус	$\cos(\omega t)\cdot H(t)\$	$\frac{s}{s^2+\omega^2}$	$s>0\$
6	гиперболический синус	$\mathrm{sh}\,(\alpha t)\cdot H(t)\$	$\frac{\alpha}{s^2-\alpha^2}$	$s>|\alpha |\$
7	гиперболический косинус	$\mathrm{ch}\,(\alpha t)\cdot H(t)\$	$\frac{s}{s^2-\alpha^2}$	$s>|\alpha|\$
8	экспоненциально затухающий синус	$e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot H(t)\$	$\frac{\omega}{(s+\alpha)^2+\omega^2}$	$s>-\alpha\$
9	экспоненциально затухающий косинус	$e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot H(t)\$	$\frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2+\omega^2}$	$s>-\alpha\$
10	корень $n$-го порядка	$\sqrt[n]{t}\cdot H(t)$	$s^{-(n+1)/n}\cdot\Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)$	$s>0\,$
11	натуральный логарифм	$\ln\left(\frac{t}{t_0}\right)\cdot H(t)$	$-\frac{t_0}{s}[\ln(t_0s)+\gamma]$	$s>0\,$
12	функция Бесселя первого рода порядка $n$	$J_n(\omega t)\cdot H(t)$	$\frac{\omega^n\left(s+\sqrt{s^2+\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2+\omega^2}}$	$s>0\$ $(n>-1)\$
13	модифицированная функция Бесселя первого рода порядка $n$	$I_n(\omega t)\cdot H(t)$	$\frac{\omega^n\left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}$	$s>|\omega|\$
14	функция Бесселя второго рода нулевого порядка	$Y_0(\alpha t)\cdot H(t)\$	$-\frac{2\mathrm{arsh}(s/\alpha) }{\pi\sqrt{s^2+\alpha^2}}$	$s>0\$
15	модифицированная функция Бесселя второго рода, нулевого порядка	$K_0(\alpha t)\cdot H(t)$
16	функция ошибок	$\mathrm{erf}(t)\cdot H(t)$	$\frac{e^{s^2/4}\mathrm{erfc}(s/2)}{s}$	$s>0\,$
Примечания к таблице: $H(t)\$ — функция Хевисайда; $\delta(t)\$ — дельта-функция; $\Gamma(z)\$ — гамма-функция; $\gamma\$ — постоянная Эйлера — Маскерони; $t\$ — вещественная переменная; $s\$ — комплексная переменная; $\alpha\$, $\beta\$, $\tau\$ и $\omega\$ — вещественные числа; $n\$ — целое число. Причинная система — система, в которой импульсная передаточная функция $h(t)\$ равна нулю для любого момента времени $t<0\$.

Применения преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях математики (операционное исчисление), физики и техники:

• Решение систем дифференциальных и интегральных уравнений — с помощью преобразования Лапласа легко переходить от сложных понятий математического анализа к простым алгебраическим соотношениям.^[2]
• Расчёт передаточных функций динамических систем, таких, к примеру, как аналоговые фильтры.
• Расчёт выходных сигналов динамических систем в теории управления и обработке сигналов — так как выходной сигнал линейной стационарной системы равен свёртке её импульсной характеристики с входным сигналом, преобразование Лапласа позволяет заменить эту операцию на простое умножение.
• Расчёт электрических схем. Производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.
• Решение нестационарных задач математической физики.

Связь с другими преобразованиями

Фундаментальные связи

Практически все интегральные преобразования имеют схожую природу и могут получаться одно из другого через выражения соответствия. Многие из них являются частными случаями других преобразований. Далее даны формулы, связывающие преобразования Лапласа с некоторыми другими функциональными преобразованиями.

Преобразование Лапласа — Карсона

Преобразование Лапласа — Карсона получается из преобразования Лапласа путём домножения его на комплексную переменную:

$\mathcal{L}_K\{f(x)\}=sF(s).$

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа $\mathcal{L}_B$ связано с односторонним с помощью следующей формулы:

$\mathcal{L}_B\{f(x);\;s\}=\mathcal{L}\{f(x);\;s\}+\mathcal{L}\{f(-x);\;-s\}.$

Преобразование Фурье

Непрерывное преобразование Фурье эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа с комплексным аргументом $s=i\omega$:

$F(\omega)=\mathcal{F}\{f(x)\}=\mathcal{L}\{f(x)\}\Big|_{s=i\omega}=F(s)\Big|_{s=i\omega}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-i\omega x}f(x)\,dx.$

Примечание: в этих выражениях опущен масштабирующий множитель $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$, который часто включается в определения преобразования Фурье.

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа часто используется для того, чтобы определить частотный спектр сигнала или динамической системы.

Преобразование Меллина

Преобразование Меллина и обратное преобразование Меллина связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных. Если в преобразовании Меллина

$G(s)=\mathcal{M}\left\{g(\theta)\right\}=\int\limits_0^\infty \theta^s\frac{g(\theta)}{\theta}\,d\theta$

положим $\theta=e^{-x}$, то получим двустороннее преобразование Лапласа.

Z-преобразование

$Z$-преобразование — это преобразование Лапласа решётчатой функции, производимое с помощью замены переменных:

$z\equiv e^{sT},$

где $T=1/f_s\$ — период дискретизации, а $f_s\$ — частота дискретизации сигнала.

Связь выражается с помощью следующего соотношения:

$X_q(s)=X(z)\Big|_{z=e^{sT}}.$

Преобразование Бореля

Интегральная форма преобразования Бореля идентична преобразованию Лапласа, существует также обобщённое преобразование Бореля, с помощью которого использование преобразования Лапласа распространяется на более широкий класс функций.

Библиография

• Ван дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. — М.: Издательство иностранной литературы, 1952. — 507 с.
• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. — 544 с.
• Диткин В. А., Кузнецов П. И. Справочник по операционному исчислению: Основы теории и таблицы формул. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. — 256 с.
• Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике. — М.: Издательство иностранной литературы, 1948. — 294 с.
• Кожевников Н. И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1964. — 184 с.
• Краснов М. Л., Макаренко Г. И. Операционное исчисление. Устойчивость движения. — М.: Наука, 1964. — 103 с.
• Микусинский Я. Операторное исчисление. — М.: Издательство иностранной литературы, 1956. — 367 с.
• Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1980. — 336 с.

См. также

• Первая теорема разложения
• Вторая теорема разложения
• Преобразование Фурье
• Дифференциальные уравнения

Ссылки

• Преобразование Лапласа на сайте exponenta.ru

Примечания

1. ↑ В отечественной литературе обозначается также через $\scriptstyle{p}$. См., например,
   Диткин В. А., Кузнецов П. И. Справочник по операционному исчислению: Основы теории и таблицы формул. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. — 256 с.
2. ↑ Ващенко-Захарченко М. Е. Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений. — Киев, 1862.