Операционное исчисление

Операционное исчисление — один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев с помощью весьма простых средств решать сложные математические задачи.

История

В середине XIX века появился ряд сочинений, посвящённых так называемому символическому исчислению и применению его к решению некоторых типов линейных дифференциальных уравнений. Сущность символического исчисления состоит в том, что вводятся в рассмотрение и надлежащим образом интерпретируются функции оператора дифференцирования $p = {d\over dt}$ (см. Операторное исчисление). Среди сочинений по символическому исчислению следует отметить вышедшую в 1862 году в Киеве обстоятельную монографию русского математика М. Е. Ващенко-Захарченко «Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений». В ней поставлены и разрешены основные задачи того метода, который в дальнейшем получил название операционного.

В 1892 году появились работы английского учёного О. Хевисайда, посвящённые применению метода символического исчисления к решению задач по теории распространения электрических колебаний в проводах. В отличие от своих предшественников, Хевисайд определил обратный оператор однозначно, полагая $\frac{1}{p}f(t) = \int\limits_{0}^{t}\!f(u)\,du$ и считая $f(u)=0$ для $u<0$. Труды Хевисайда положили начало систематическому применению символического, или операционного, исчисления к решению физических и технических задач.

Однако широко развитое в трудах Хевисайда операционное исчисление не получило математического обоснования, и многие его результаты оставались недоказанными. Строгое обоснование было дано значительно позже, когда была установлена связь между функциональным преобразованием Лапласа $\bar{f}(p) = L \left[f(t)\right] =\int\limits_{0}^\infty\! e^{-pt} f(t)\,dt$ и оператором дифференцирования ${d\over dt}.$Именно, если существует производная $f^\prime(t)$, для которой $L\left[{df\over dt}\right]$ существует и $f(0)=0$, то $L\left[{df\over dt}\right]=p \bar{f}(p)$

Свойства изображений

• Линейность

Оригинал линейной комбинации функций равно линейной комбинации изображений с теми же коэффициентами.

$a\cdot f(t)+b\cdot g(t) \quad \Rightarrow \quad a\cdot F(p)+b\cdot G(p),$

где a и b – произвольные комплексные числа.

• Теорема подобия

$f(at) \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{a} F \left( \frac{p}{a} \right),$

где a>0.

• Дифференцирование оригинала

$f(t) \quad \Rightarrow \quad F(p);$

$f'(t) \quad \Rightarrow \quad pF(p) - f(0);$

$f''(t) \quad \Rightarrow \quad p^2F(p) - pf(0) - f'(0);$

$f'''(t) \quad \Rightarrow \quad p^3F(p) - p^2f(0) - pf'(0) - f''(0);$

$...$

$f^{(n)}(t) \quad \Rightarrow \quad p^nF(p) - p^{n-1}f(0) - p^{n-2}f'(0) - p^{n-3}f''(0) - ... - f^{(n-1)}(0).$

• Дифференцирование изображения

$-tf(t) \quad \Rightarrow \quad F'(p).$

• Интегрирование оригинала

$\int\limits_0^t f(x)dx \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{p}F(p).$

• Интегрирование изображения

$\frac{f(t)}{t} \quad \Rightarrow \quad \int\limits_p^{\infty} F(z)dz.$

• Теорема смещения

$e^{at}f(t) \quad \Rightarrow \quad F(p-a).$

• Теорема запаздывания

$f(t-\tau) \quad \Rightarrow \quad e^{-p\tau}F(p).$

• Теорема умножения (свёртки)

$\int\limits_0^tf(\tau)g(t-\tau)d\tau \quad \Rightarrow \quad F(p)\cdot G(p).$

Изображения различных функций

Оригинал	Изображение		Оригинал	Изображение		Оригинал	Изображение
$~C$	$~\frac{C}{p}$		$~t\cdot \sin~\omega t$	$~\frac{2p\omega}{(p^2+\omega^2)^2}$		$~t\cdot \operatorname{sh}~\omega t$	$~\frac{2p\omega}{(p^2-\omega^2)^2}$
$~e^{at}$	$~\frac{1}{p-a}$		$~t\cdot \cos~\omega t$	$~\frac{p^2-\omega^2}{(p^2+\omega^2)^2}$		$~t\cdot \operatorname{ch}~\omega t$	$~\frac{p^2-\omega^2}{(p^2-\omega^2)^2}$
$~\sin~\omega t$	$~\frac{\omega}{p^2+\omega^2}$		$~\operatorname{sh}~\omega t$	$~\frac{\omega}{p^2-\omega^2}$		$~t^n$	$~\frac{n!}{p^{n+1}}$
$~\cos~\omega t$	$~\frac{p}{p^2+\omega^2}$		$~\operatorname{ch}~\omega t$	$~\frac{p}{p^2-\omega^2}$		$~t^a$	$~\frac{\Gamma (a+1)}{p^{a+1}}$
$~e^{at}\sin~\omega t$	$~\frac{\omega}{(p-a)^2+\omega^2}$		$~e^{at}\operatorname{sh}~\omega t$	$~\frac{\omega}{(p-a)^2-\omega^2}$		$~e^{at}t^n$	$~\frac{n!}{(p-a)^{n+1}}$
$~e^{at}\cos~\omega t$	$~\frac{p-a}{(p-a)^2+\omega^2}$		$~e^{at}\operatorname{ch}~\omega t$	$~\frac{p-a}{(p-a)^2-\omega^2}$

Пример применения операторных методов

Переходный процесс в коммутируемой RL-цепочке

Задача

На рисунке изображена коммутируемая RL-цепочка. В некоторый момент времени t=0 ключ К замыкается. Определить зависимость тока в RL-цепочке от времени.

Решение традиционным методом

Согласно второму закону Кирхгофа, схема описывается следующим дифференциальным уравнением:

$U = iR + L\frac{di}{dt},$

где первый член описывает падение напряжения на резисторе R, а второй - на индуктивности L.

Делаем замену переменной $~i=ab$ и приводим уравнение к виду:

$~U = Rab + L(a'b+ab'); \qquad U = a(Rb + Lb')+La'b.$

Поскольку один из сомножителей a, b можно выбрать произвольно, выберем b так, чтобы выражение в скобках было равно нулю:

$~Rb + Lb'=0.$

Разделяем переменные:

$~\frac{b'}{b} = -\frac{R}{L}; \qquad \ln b = -\frac{R}{L}t; \qquad b = e^{-\frac{R}{L}t}.$

С учётом выбранного значения b дифференциальное уравнение приводится к виду

$~U = La'e^{-\frac{R}{L}t}; \qquad a'=\frac{Ue^{\frac{R}{L}t}}{L};$

Интегрируя, получаем

$~a=\frac{L}{R}\cdot \frac{Ue^{\frac{R}{L}t}}{L}+C = \frac{Ue^{\frac{R}{L}t}}{R}+C; \qquad$

Получаем выражение для тока

$~i=ab= \left( \frac{Ue^{\frac{R}{L}t}}{R}+C \right) \cdot e^{-\frac{R}{L}t} = \frac{U}{R}+Ce^{-\frac{R}{L}t};$

Значение постоянной интегрирования находим из условия, что в момент t=0 тока в цепи не было:

$~i(0)=0; \qquad \frac{U}{R}+C=0;\qquad C = -\frac{U}{R}.$

Окончательно получаем

$~i= \frac{U}{R} \left( 1-e^{-\frac{R}{L}t} \right).$

Решение операторным методом

Найдём изображения каждого из слагаемых дифференциального уравнения:

$~i \Rightarrow I; \qquad U \Rightarrow \frac{U}{p}; \qquad iR \Rightarrow IR; \qquad L\frac{di}{dt} \Rightarrow L \left[ pI-i(0) \right]= pLI.$

Получаем следующее изображение дифференциального уравнения

$~\frac{U}{p}=RI+pLI=I(R+pL).$

Из последнего выражения найдём изображение тока:

$~I=\frac{U}{p(R+pL)}.$

Таким образом, решение сводится к нахождению оригинала тока по известному изображению. Разложим правую часть уравнения на элементарные дроби:

$~\frac{U}{p(R+pL)} = \frac{A}{p}+\frac{B}{R+pL} = \frac{A(R+pL)+Bp}{p(R+pL)} = \frac{AR+p(AL+B)}{p(R+pL)};$

$~AR=U; \qquad A = \frac{U}{R};$

$~AL+B=0; \qquad B=-AL= -\frac{UL}{R};$

$~I = \frac{U}{Rp}-\frac{UL}{R(R+pL)} =\frac{U}{Rp}-\frac{U}{R(\frac{R}{L}+p)} =\frac{U}{R} \left(\frac{1}{p} - \frac{1}{\frac{R}{L}+p} \right).$

Найдём оригиналы элементов последнего выражения:

$~\frac{1}{p} \Leftarrow 1; \qquad \frac{1}{\frac{R}{L}+p} \Leftarrow e^{-\frac{R}{L}t}.$

Окончательно получаем

$~i = \frac{U}{R} \left( 1-e^{-\frac{R}{L}t} \right).$

Вывод

Операционное исчисление чрезвычайно удобно в электротехнике для расчёта динамических режимов различных цепей. Алгоритм расчёта следующий.

1) Все элементы цепи рассматриваем как сопротивления Z_i, величины которых находим исходя из изображений переходных функций соответствующих элементов.

Например, для резистора:

$~u = iR; \quad \Rightarrow \quad U=IR \quad \Rightarrow \quad Z_R = R.$

Для индуктивности:

$~u = L\frac{di}{dt} \quad \Rightarrow \quad U=IpL \quad \Rightarrow \quad Z_L = pL.$

Для ёмкости:

$~u = \frac{1}{C} \int idt \quad \Rightarrow \quad U=\frac{I}{pC} \quad \Rightarrow \quad Z_C = \frac{1}{pC}.$

2) Используя указанные значения сопротивлений, находим изображения токов в цепи, используя стандартные методы расчёта цепей, применяемые в электротехнике.

3) Имея изображения токов в цепи, находим оригиналы, которые и являются решением дифференциальных уравнений, описывающих цепь.

Замечания

Интересно отметить, что полученные выше выражения для операторного сопротивления различных элементов с точностью до преобразования

$~p \rightarrow j\omega$

совпадают с соответствующими выражениями для сопротивлений в цепях переменного тока:

$~Z_R = R; \qquad Z_L = j\omega L; \qquad Z_C = \frac{1}{j\omega C}.$