Вторая теорема разложения

Теорема

Если $F(p) = \frac{F_1(p)}{F_2(p)}$ — правильная рациональная функция и $F_2(p) = (p - p_1)^{m_1}(p - p_2)^{m_2}...(p - p_l)^{m_l}$, то оригинал можно найти по формуле

$f(t) = \sum_{k=1}^l \sum_{v=1}^{m_k} \frac{A_{kv}}{(m_k - v)!}t^{m_{k}-v}e^{p_{k}t}, \quad t > 0$

где

$A_{kv} = \frac{1}{(v - 1)!} \lim_{p \to p_k} \frac{d^{v - 1}}{dp^{v - 1}}((p - p_k)^{m_k}F(p))$

В частности, если все корни знаменателя простые и $F_2(p) = (p - p_1)...(p - p_n) \quad$, то

$f(t) = \sum_{k=1}^n \frac{F_1(p_k)}{F_2^'(p_k)}e^{p_kt}$

Примеры

Приведём несколько примеров применения теоремы о разложении.

Случай простых полюсов

Пусть функция $F(p)=\frac{1}{p(p-a)(p-b)}$. Очевидно, что функция имеет полюса первого порядка в точках $p_1=0$, $p_2=a$ и $p_3=b$ Тогда её оригинал представим в виде $f(t)=A_1\cdot e^{0 t} + A_2\cdot e^{a t} + A_3\cdot e^{b t}$.

Найдём соответствующие $A_1$, $A_2$ и $A_3$. Для этого вычислим производную знаменателя функции $F_2^\prime(p)=3p^2-2bp-2ap+ab$. В соответствии с вышесказанным $A_1=\frac{F_1(p_1)}{F_2^\prime(p_1)}=\frac{F_1(0)}{F_2^\prime(0)}=\frac{1}{ab}$. Аналогично $A_2=\frac{1}{a^2-ab}$ и $A_3=\frac{1}{b^2-ab}$.

Окончательно, оригинал функции $F(p)=\frac{1}{p(p-a)(p-b)}$ равен $f(t)=\frac{1}{ab} + \frac{1}{a^2-ab}e^{a t} + \frac{1}{b^2-ab}e^{b t}$.

Случай кратных полюсов

Пусть функция $F(p)=\frac{p+a}{p(p+b)^2}$. Функция имеет полюс первого порядка при $p_1=0$ и полюс второго порядка в точке $p_2=-b$. Следовательно оригинал должен иметь вид $f(t)=A_1\cdot e^{0 t} + A_{21}\cdot t e^{-bt}+A_{22}\cdot e^{-bt}$.

Следует отметить коэффициенты $A_{kv}=A_{k}$ для полюсов первого порядка можно по-прежнему искать вычисляя производную: $F_2^\prime(p)=3p^2+4bp+b^2$. Таким образом $A_1=\frac{a}{b^2}$.

Пусть теперь $A_2(p)=(p+b)^2\cdot F(p) = \frac{p+a}{p}$ (это соответствует выражению под знаком предела в общей формуле). Тогда $A_{21}=\frac{1}{0!}\lim_{p \to -b} A^{(0)}(p)=-\frac{a-b}{b}$ и $A_{22}=\frac{1}{1!}\lim_{p \to -b} A^{(1)}(p)=-\frac{a}{b^2}$, где $A^{(1)}(p)=\frac{dA(p)}{dp}=-\frac{a}{p^2}$.

Окончательно имеем $f(t)=\frac{a}{b^2} - \frac{a-b}{b} t e^{-bt} - \frac{a}{b^2} e^{-bt}$.

См. также

• Первая теорема разложения
• Преобразование Лапласа