Интеграл Дюамеля

Рис. 1. Пример линейной пассивной электрической цепи

Рис. 2. Единичная функция (сверху) и пример переходной функции линейной системы (внизу)

Рис. 3. Пример сложного входного сигнала

Интеграл Дюамеля — метод расчёта отклика линейных пассивных систем на произвольно меняющийся во времени входной сигнал. Основан на принципе суперпозиции, согласно которому отклик линейной пассивной системы на составной сигнал, равный сумме нескольких сигналов, представляет собой сумму откликов от каждого из слагаемых сигналов.

Техника применения метода состоит в следующем. Входной сигнал представляется в виде суммы (а общем случае бесконечной) стандартных сигналов, для которых отклик системы h(t), называемый переходной функцией, известен. В качестве стандартного сигнала используется единичная функция 1(t). Отклик системы выражается в виде интеграла от h(t), который носит название интеграла Дюамеля.

Формулы

Для использования интеграла Дюамеля необходимо предварительно вычислить переходную функцию системы h(t), которая является откликом системы на единичный входной сигнал (рис. 2). Переходная функция находится любым доступным методом (решение системы дифференциальных уравнений, операторный метод и т.д.). Для линейной системы переходной функцией может быть апериодический, колебательный, затухающий колебательный процессы или комбинация нескольких перечисленных процессов. Например, для системы рис. 1, переходная функция является апериодическим процессом, изображённым на рис. 2^[1].

Если входной сигнал системы описывается функцией U(t), реакция системы на этот сигнал выражается формулой

$Y(t)= U(0) \cdot h(t) + \int_0^t U'(\tau)h(t-\tau)d\tau,$

где

$U'(\tau) = \frac {dU(\tau)}{d\tau}.$

В случае, если входной сигнал составной и функция U(t) испытывает разрывы (моменты времени t₁, t₂ на рис. 3), то вышеуказанная формула справедлива только на интервале [0,t₁]:

$Y_1(t)= U_1(0) \cdot h(t) + \int_0^{t_1} U_1'(\tau)h(t-\tau)d\tau.$

Отклик на остальных интервалах вычисляется по формулам:

$Y_2(t)= Y_1(t) + \left[ U_2(t_1)-U_1(t_1) \right] \cdot h(t-t_1) + \int_{t_1}^{t_2} U_2'(\tau)h(t-\tau)d\tau;$

$Y_3(t)= Y_2(t) +\left[ U_3(t_2)-U_2(t_2) \right] \cdot h(t-t_2) + \int_{t_2}^{\mathcal{1}} U_3'(\tau)h(t-\tau)d\tau;$

Последние формулы означают, что

• Отклик системы, возникший на ранних этапах развития процесса, продолжает действовать во всех последующих интервалах времени;
• Разрыв функции в момент времени t_р на величину E эквивалентен прибавлению или вычитанию из входного сигнала единичной функции с соответствующим коэффициентом и сдвинутой на соответствующий интервал времени (E·1(t – t_р)), что прибавляет в отклику системы дополнительный сигнал E·h(t – t_р);
• К указанным выше сигналам отклика в последующие интервалы времени прибавляются отклики, вычисленные по тем же формулам с учётом сдвига входного сигнала на соответствующее время.

Пример решения

Для линейной цепи рис. 1 найдём ток I₃ через конденсатор под действием сложного входного сигнала, изображённого на рис. 3.

Вычисление переходной функции

Чтобы найти вид переходной функции, найдём решения характеристического уравнения

$Z(p) = 0,$

где Z(p) — записанное в операторной форме входное сопротивление системы со стороны источника сигнала.

$Z(p) = R_1 + R_2 || X_C = R_1 + \frac{R_2}{1+R_2pC}= \frac{R_1+R_2+R_1R_2pC}{1+R_2pC};$

$R_1+R_2+R_1R_2pC = 0;$

$p = -\frac{R_1+R_2}{R_1R_2C} = -A;$

Характеристическое уравнение имеет одно действительное решение, следовательно, переходная функция представляет собой экспоненту:

$h(t) = h_0 e^{-At};$

Полагая, что в момент времени t = 0 конденсатор разряжен, получим

$h_0 = h(0) = \frac{1}{R_1}; h(t) = \frac{1}{R_1} e^{-At}.$

Представление сигнала

Сложный входной сигнал представим в виде кусочной функции на трёх временных интервалах:

Сигнал	Интервал	$U_i(t)$	$U'_i(t)$
$U_1(t)$	$0 ... t_1$	$\frac{2E}{t_1}t$	$\frac{2E}{t_1}$
$U_2(t)$	$t_1 ... t_2$	$E$	$0$
$U_3(t)$	$t_2 ... \mathcal{1}$	$0$	$0$

Вычисление отклика системы

$Y_1(t)= U_1(0) \cdot h(t) + \int_0^{t_1} U_1'(\tau)h(t-\tau)d\tau =$

$= 0 \cdot \frac{1}{R_1} e^{-At} + \int_0^{t_1} \frac{2E}{t_1} \cdot \frac{1}{R_1} e^{-A(t-\tau)}d\tau =$

$= -\frac{2E}{At_1R_1} e^{-A(t-\tau)}\Bigr|_0^{t_1} =$

$= \frac{2E}{At_1R_1} e^{-At} - \frac{2E}{At_1R_1} e^{-A(t-t_1)}.$

$Y_2(t)= Y_1(t) + \left[ U_2(t_1)-U_1(t_1) \right] \cdot h(t-t_1) + \int_{t_1}^{t_2} U_2'(\tau)h(t-\tau)d\tau =$

$= Y_1(t) - \frac{E}{R_1}e^{-A(t-t_1)} + \int_{t_1}^{t_2} 0 \cdot \frac{1}{R_1} e^{-A(t-\tau)} d\tau =$

$= \frac{2E}{At_1R_1} \left( e^{-At} - e^{-A(t-t_1)} \right) - \frac{E}{R_1}e^{-A(t-t_1)} =$

$= \frac{2E}{At_1R_1}e^{-At} - \frac{E}{R_1}\left( \frac{2}{At_1} + 1 \right)e^{-A(t-t_1)}.$

$Y_3(t)= Y_2(t) +\left[ U_3(t_2)-U_2(t_2) \right] \cdot h(t-t_2) + \int_{t_2}^{\mathcal{1}} U_3'(\tau)h(t-\tau)d\tau =$

$= Y_2(t) - \frac{E}{R_1}e^{-A(t-t_2)} + \int_{t_2}^{\mathcal{1}} 0 \cdot e^{-A(t-\tau)} d\tau =$

$= \frac{2E}{At_1R_1}e^{-At} - \frac{E}{R_1}\left( \frac{2}{At_1} + 1 \right)e^{-A(t-t_1)} - \frac{E}{R_1}e^{-A(t-t_2)}.$

Ссылки

• Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. – 7-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1978. – 528с.
• Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.: Учеб. для электротехн. радиотехн. спец. вузов. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1990. – 400с.
• Ni Zhenhua, Mechanics of Vibrations, Xi'an Jiaotong University Press, Xi'an, 1990 (in Chinese)
• R. W. Clough, J. Penzien, Dynamics of Structures, Mc-Graw Hill Inc., New York, 1975.
• Anil K. Chopra, Dynamics of Structures - Theory and applications to Earthquake Engineering, Pearson Education Asia Limited and Tsinghua University Press, Beijing, 2001
• Leonard Meirovitch, Elements of Vibration Analysis, Mc-Graw Hill Inc., Singapore, 1986
• Duhamel's formula at "Dispersive Wiki".
• 3.5. Расчет переходного процесса с помощью интеграла Дюамеля.
• Интеграл Дюамеля. Метод переменных состояния.
• Переходные и импульсные характеристики. Интеграл Дюамеля.
• Интеграл Дюамеля.

Примечания

1. ↑ Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники: в 2-х т. Учебник для вузов. Том I. — 3-е изд., перераб. и доп. — Л.: Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1981. — 536 с., ил.