Дифференциальные уравнения

Дифференциа́льное уравне́ние — в математике это уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, $\ f'(x)=f(f(x))$ не является дифференциальным уравнением.

Тео́рия дифференциа́льных уравне́ний — раздел математики, в котором изучаются дифференциальные уравнения и связанные с ними задачи. Её результаты применяются во многих естественных науках, особенно широко — в физике.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения называется функция, при подстановке которой, уравнение становится тождеством. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Основная статья: Обыкновенное дифференциальное уравнение

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида

$F(t,x,x',x'',...,x^{(n)})=0\!$,

где $~x=x(t)$ — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени $~t$, штрих означает дифференцирование по $~t$. Число $~n$ называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения в частных производных

Основная статья: Дифференциальное уравнение в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

$F = \left(x_1, x_2,\dots, x_m, z, \frac{\partial z}{\partial x_1}, \frac{\partial z}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial z}{\partial x_m}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_2^2},\dots,\frac{\partial^n z}{\partial x_m^n}\right)$,

где $x_1, x_2,\dots, x_m$ — независимые переменные, а $z\!$ — функция этих переменных.

Примеры

y'' + 9y = 0 — обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Решением является семейство функций y = C₁cos(3x) + C₂sin(3x), где C₁ и C₂ — произвольные константы.

Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения $m \frac{d^2 x}{dt^2}= F(x,t)$, где m — масса тела, x — его координата, F(x,t) — сила, действующее на тело с координатой x в момент времени t. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.

Колебание струны задается уравнением $\frac{\partial{}^2 u}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$, где u = u(x,t) — отклонение струны в точке с координатой x в момент времени t, параметр a задает свойства струны. Это так называемое волновое уравнение.

Ссылки

• Сайт под редакцией А. Д. Полянина «Мир математических уравнений» — EqWorld
• Русскоязычные ресурсы по дифференциальным уравнениям в Открытом Каталоге.
• Дифференциальные уравнения // Двайт Г. Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы (MathML)

Литература

Учебники

• В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966.
• Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.
• А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.
• А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, А. И. Журов. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005.
• Чарльз Генри Эдвардс , Дэвид Э. Пенни Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB = Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — ISBN 978-5-8459-1166-7
• Х. Р. Латипов. Качественные исследование характеристик одного класса дифференциальных уравнений в целом. Т.: ФАН, 1993
• А. Ф. Филиппов Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Изд. 2-е. — 2007. — 240 с. — ISBN 5354004160
• А. Ф. Филиппов Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — ЛКИ, 2008. — 240 с. — ISBN 9785382004556

Справочники

• Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.
• В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001.
• Э. Камке. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966.
• В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: Физматлит, 2003.
• А. Д. Полянин. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001.
• А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. М.: Физматлит, 2002 .
• Н. М. Матвеев «Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений», «Лань», 2003

Разделы математики

Теория множеств | Арифметика | Геометрия | Математический анализ | Дифференциальные уравнения | Алгебра | Теория чисел | Дискретная математика | Комплексный анализ | Функциональный анализ | Дифференциальные геометрия и топология | Топология | Математическая логика | Теория категорий | Линейная алгебра | Теория вероятностей | Математическая статистика