Частная производная

У этого термина существуют и другие значения, см. Производная.

В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.

В явном виде частная производная функции $f$ определяется следующим образом:

$\frac{\partial f}{\partial x_k}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_1,\ldots,x_k+\Delta x,\ldots,x_n)-f(x_1,\ldots,x_k,\ldots,x_n)}{\Delta x}.$

График функции z = x² + xy + y². Частная производная в точке (1, 1, 3) при постоянном y соответствует углу наклона касательной прямой, параллельной плоскости xz.

Сечения графика, изображенного выше, плоскостью y = 1

Следует обратить внимание, что обозначение $\frac{\partial f}{\partial x}$ следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной $\frac{d f}{d x}$, которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: $\frac{\partial f}{\partial x} \equiv \frac{d_x f}{d x}$, где $d_x f$ — частный дифференциал функции f по переменной x. Часто непонимание факта цельности символа $\frac{\partial f}{\partial x}$ является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение $\partial x$ в выражении $\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t}$. (подробнее см. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»).

Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции $f$ в точке $\vec{x}{\,}^0=(x_1^0,\ldots,x_n^0)$ по координате $x_k$ равна производной $\frac{\partial f}{\partial \vec{e}}$ по направлению $\vec{e}=\vec{e}{\,}^k=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$, где единица стоит на $k$-ом месте.

Примеры

Объем конуса зависит от высоты и радиуса основания

Объём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле

$V = \frac{\pi r^2 h}{3},$

Частная производная объема V относительно радиуса r

$\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2 \pi r h}{3},$

которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его радиус меняется, а его высота остается неизменной. Например, если считать единицы измерения объема $m^3$, а измерения длины $m$, то вышеуказанная производная будет иметь размерность скорости измерения объема $m^3/m$, т.е. изменение величины радиуса на 1 м будет соответствовать изменению объема конуса на $\frac{ 2 \pi r h}{3}$ $m^3$.

Частная производная относительно h

$\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{\pi r^2}{3},$

которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его высота меняется, а его радиус остается неизменным.

Полная производная V относительно r и h

$\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r} + \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h}\frac{\operatorname d h}{\operatorname d r}$

и

$\frac{\operatorname dV}{\operatorname dh} = \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h} + \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r}\frac{\operatorname d r}{\operatorname d h}$

Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.

Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отношении k,

$k = \frac{h}{r} = \frac{\operatorname d h}{\operatorname d r}.$

Это дает полную производную относительно r:

$\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \frac{2 \pi r h}{3} + k\frac{\pi r^2}{3}$

Уравнения, в которые входят частные производные, называются дифференциальными уравнениями в частных производных и широко известны в физике, инженерии и других науках и прикладных дисциплинах.

См. также

• Смешанная частная производная
• Производная по направлению
• Полная производная функции
• Производная функции