- Z-преобразование
-
Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты , то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.
Содержание
Определение
Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее
Двустороннее Z-преобразование
Двустороннее Z-преобразование дискретного временного сигнала задаётся как:
где — целое, — комплексное число.
где — амплитуда, а — угловая частота (в радианах на отсчёт)
Одностороннее Z-преобразование
В случаях, когда определена только для , одностороннее Z-преобразование задаётся как:
Обратное Z-преобразование
Обратное Z-преобразование определяется, например, так:
где — контур, охватывающий область сходимости . Контур должен содержать все вычеты .
Положив в предыдущей формуле , получим эквивалентное определение:
Область сходимости
Область сходимости представляет собой некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых выполнено условие:
то есть сумма по членам преобразования является конечной.
Пример 1 (без области сходимости)
Пусть . Раскрывая на интервале , получаем
Смотрим на сумму:
Поэтому, не существует таких значений , которые бы удовлетворяли условию сходимости.
Таблица некоторых Z-преобразований
Обозначения:
- для , для ;
- для , иначе .
Сигнал, Z-преобразование, Область сходимости 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 См. также
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Z-Transform (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Категории:- Дискретные преобразования
- Цифровая обработка сигналов
Wikimedia Foundation. 2010.