Калибровочная теория гравитации

Целью построения калибровочной теории гравитации является объединение гравитации с другими фундаментальными взаимодействиями, успешно описываемыми в рамках калибровочной теории.

Первая калибровочная модель гравитации была предложена Р. Утиямой в 1956 г., два года спустя после рождения самой калибровочной теории.^[1] Однако первоначальные попытки построить калибровочную теорию гравитации по аналогии с калибровочной теорией Янга — Миллса внутренних симметрий столкнулись с проблемой описания общих ковариантных преобразований и псевдоримановой метрики (тетрадного поля) в рамках такой калибровочной модели.

Чтобы решить эту проблему, было предложено представить тетрадное поле как калибровочное поле группы трансляций.^[2] При этом генераторы общих ковариантных преобразований рассматривались как генераторы калибровочной группы трансляций и тетрадное поле (поле кореперов) отождествлялось с трансляционной частью аффинной связности на пространственно-временном многообразии $X$. Любая такая связность является суммой $K=\Gamma + \Theta$ общей линейной связности $\Gamma$ на $X$ и припаивающей формы $\Theta= \Theta_\mu^a dx^\mu\otimes\vartheta_a$, где $\vartheta_a=\vartheta_a^\lambda\partial_\lambda$ — неголономный репер. Существуют различные физические интерпретации трансляционной части $\Theta$ аффинной связности. В калибровочной теории дислокаций поле $\Theta$ описывает дисторсию.^[3] В другой трактовке, если линейный репер $\vartheta_a$ задан, разложение $\theta=\vartheta^a\otimes\vartheta_a$ дает основание ряду авторов рассматривать корепер $\vartheta^a$ именно как калибровочное поле трансляций.^[4]

Трудность построения калибровочной теории гравитации по аналогии с теорией Янга — Миллса вызвана тем, что калибровочные преобразования этих двух теорий принадлежат разным классам. В случае внутренних симметрий калибровочными преобразованиями являются вертикальные автоморфизмы главного расслоения $P\to X$, оставляющие неподвижной его базу $X$. В то же время, теория гравитации строится на главном расслоении $FX$ касательных реперов к $X$. Оно принадлежит категории натуральных расслоений $T\to X$, для которых диффеоморфизмы базы $X$ канонически продолжаются до автоморфизмов $T$.^[5] Эти автоморфизмы называются общими ковариантными преобразованиями. Общих ковариантных преобразований достаточно, чтобы сформулировать и общую теорию относительности, и аффинно-метрическую теорию гравитации как калибровочную теорию.^[6]

В калибровочной теории на натуральных расслоениях калибровочными полями являются линейные связности на пространственно-временном многообразии $X$, определяемые как связности на главном реперном расслоении $FX$, а метрическое (тетрадное) поле играет роль хиггсовского поля, отвечающего за спонтанное нарушение общих ковариантных преобразований.^[7]

Спонтанное нарушение симметрий является квантовым эффектом, когда вакуум не инвариантен относительно некоторой группы преобразований. В классической калибровочной теории спонтанное нарушение симметрий происходит, когда структурная группа $G$ главного расслоения $P\to X$ редуцирована к своей замкнутой подгруппе $H$, то есть существует главное подрасслоение расслоения $P$ со структурной группой $H$.^[8] При этом имеет место взаимно однозначное соответствие между редуцированными подрасслоениями $P$ со структурной группой $H$ и глобальными сечениями фактор-расслоения $P/H\to X$. Эти сечения описывают классические хиггсовские поля.

Первоначально идея интерпретировать псевдориманову метрику как хиггсовское поле возникла при построении индуцированных представлений общей линейной группы $GL(4,\mathbb R)$ по подгруппе Лоренца.^[9] Геометрический принцип эквивалентности, постулирующий существование системы отсчета, в которой сохраняются лоренцевские инварианты, предполагает редукцию структурной группы $GL(4,\mathbb R)$ главного реперного расслоения $FX$ к группе Лоренца. Тогда само определение псевдоримановой метрики на многообразии $X$ как глобального сечения фактор-расслоения $FX/O(1,3)\to X$ ведет к ее физической интерпретации как хиггсовского поля.

См. также

• Альтернативные теории гравитации
• Фундаментальные взаимодействия
• Калибровочная инвариантность

Примечания

1. ↑ R. Utiyama Invariant theoretical interpretation of interaction, — Physical Review 101 (1956) 1597 (русский перевод в Сб. Элементарные частицы и компенсирующие поля, под ред. Д. Д. Иваненко, — М.: Мир, 1964).
2. ↑ F.Hehl, J. McCrea, E. Mielke, Y. Ne’eman Metric-affine gauge theory of gravity: field equations, Noether identities, world spinors, and breaking of dilaton invariance, — Physics Reports 258 (1995) 1.
3. ↑ C.Malyshev The dislocation stress functions from the double curl $T(3)$-gauge equations: Linearity and look beyond, — Annals of Physics 286 (2000) 249.
4. ↑ M. Blagojević Gravitation and Gauge Symmetries, — IOP Publishing, Bristol, 2002.
5. ↑ I. Kolář, P. W. Michor, J. Slovák Natural Operations in Differential Geometry, — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993.
6. ↑ Иваненко Д. Д., Пронин П. И., Сарданашвили Г. А. Калибровочная теория гравитации, — М.: Изд. МГУ, 1985.
7. ↑ D.Ivanenko, G.Sardanashvily The gauge treatment of gravity, — Physics Reports 94 (1983) 1.
8. ↑ L. Nikolova, V. Rizov Geometrical approach to the reduction of gauge theories with spontaneous broken symmetries, — Reports on Mathematical Physics 20 (1984) 287.
9. ↑ M. Leclerk The Higgs sector of gravitational gauge theories, — Annals of Physics 321 (2006) 708.

Литература

• I. Kirsch A Higgs mechanism for gravity, — Phys. Rev. D72 (2005) 024001; arXiv: hep-th/0503024.
• Yu. Obukhov Poincare gauge gravity: selected topics, — Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 3 (2006) 95-138; arXiv: gr-qc/0601090.
• Г. А. Сарданашвили Современные методы теории поля. 5. Гравитация, — М.: УРСС, 2011.

Теории гравитации
Стандартные теории гравитации	Альтернативные теории гравитации	Квантовые теории гравитации	Единые теории поля
Классическая физика Теория тяготения Ньютона Релятивистская физика Общая теория относительности Математическая формулировка общей теории относительности Гамильтонова формулировка общей теории относительности Принципы Принцип эквивалентности сил гравитации и инерции Принцип Маха Геометродинамика (англ.)	Классические Теория гравитации Лесажа Модифицированная ньютоновская динамика Релятивистские Релятивистская теория гравитации Калибровочная теория гравитации Гравитация с массивным гравитоном Телепараллелизм Теория Нордстрёма Теория Бранса — Дикке Биметрические теории гравитации Несимметричные теории гравитации Теория гравитации Уайтхеда (англ.) Теория Эйнштейна — Картана	Каноническая квантовая гравитация Петлевая квантовая гравитация Полуклассическая гравитация (англ.) Причинная динамическая триангуляция (англ.) Евклидова квантовая гравитация Уравнение Уилера — Девитта (англ.) Индуцированная гравитация (англ.) Некоммутативная геометрия (англ.)	Многомерные Общая теория относительности в многомерном пространстве Теория Калуцы — Клейна Супергравитация Струнные Теория струн Теория суперструн М-теория Прочие Исключительно простая теория всего