Теория Бранса — Дикке

Теория Бранса — Дикке

Тео́рия Бра́нса — Ди́кке (реже тео́рия Йо́рдана — Бра́нса — Ди́кке) — скалярно-тензорная теория гравитации, совпадающая в одном из пределов с общей теорией относительности. В теории Йордана — Бранса — Дикке как скалярно-тензорной метрической теории гравитационное воздействие на материю реализуется через метрический тензор пространства-времени, а материя влияет на метрику не только непосредственно, но и через генерируемое дополнительно скалярное поле φ. Из-за этого в теории Йордана — Бранса — Дикке гравитационная постоянная G не обязательно постоянна, но зависит от скалярного поля 1 / G˜φ, которое может изменяться в пространстве и времени.

Эта теория получила окончательную формулировку в 1961 году в статье Карла Бранса и Роберта Дикке,^[1] которая опиралась существенным образом на работу Паскуаля Йордана 1959 года.^[2] В "Золотой век" общей теории относительности эта теория рассматривалась как достойный соперник общей теории относительности из числа альтернативных теорий гравитации.

Как теория, сводящаяся к ОТО при специальном наборе параметров, теория Йордана — Бранса — Дикке не может быть опровергнута экспериментами, не противоречащими общей теории относительности. Однако подтверждающие предсказания теории относительности эксперименты значительно ограничивают допустимый произвол параметров теории Йордана — Бранса — Дикке. В настоящее время теорию Йордана — Бранса — Дикке поддерживает меньшинство физиков.

Сравнение с Общей Теорией Относительности

Как ОТО, так и теория Бранса — Дикке представляют собой примеры классических теорий гравитационного поля, называемых метрическими теориями. В этих теориях пространство-время описывается метрическим тензором g_ab, а гравитационное поле представляется, полностью или частично, тензором кривизны Римана R_abcd, который определяется метрическим тензором.

Все метрические теории удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна, который на современном геометрическом языке гласит, что в маленькой области пространства, слишком маленькой, что бы в ней проявлялись эффекты, связанные с кривизной пространства, все законы физики, существующие в специальной теории относительности, верны в локальной лоренцевой системе отсчёта. Отсюда следует, что, во всех метрических теориях проявляется эффект гравитационного красного смещения.

Как и в ОТО, источником гравитационного поля является тензор энергии-импульса. Однако способ, которым наличие этого тензора в какой-либо области пространства влияет на гравитационное поле в этой области, оказывается другим. В теории Бранса — Дикке в дополнение к метрике, которая является тензором второго ранга, существует так же скалярное поле φ, которое физически проявляется как изменение в пространстве эффективной гравитационной постоянной.

Уравнения поля теории Бранса — Дикке содержат параметр ω, называемый константой связи Бранса — Дикке. Это настоящая безразмерная константа, которая выбирается один раз и не изменяется. Разумеется, её следует выбирать так, что бы она соответствовала наблюдениям. Кроме того, существующее фоновое значение эффективной гравитационной постоянной должно быть использовано в качестве граничного условия. При возрастании константы связи теория Бранса — Дикке даёт предсказания, всё более близкие к ОТО, а в пределе $\omega\rightarrow\inf$ переходит в неё.

В ОТО безразмерные константы отсутствуют, и, следовательно, она легче поддаётся фальсификации, чем теория Бранса — Дикке. Теории, допускающие подгонку параметров, в принципе считаются менее удовлетворительными, и при выборе из двух альтернативных теорий следует выбирать ту, которая содержит меньшее количество параметров (принцип бритвы Оккама). Однако в некоторых теориях такие параметры являются необходимыми.

Теория Бранса — Дикке является менее строгой, чем ОТО и в ещё одном смысле — она допускает большее количество решений. В частности, точное вакуумное решение уравнений Эйнштейна ОТО, дополненное тривиальным скалярным полем φ = 1, становится точным вакуумным решением в теории Бранса — Дикке, однако некоторые решения, которые не являются вакуумными решениями ОТО, при соответствующем выборе скалярного поля становятся вакуумными решениями теории Бранса — Дикке. Аналогично, важный класс метрик пространства-времени, называемых pp-волнами, являются нулевыми пылевыми решениями как в ОТО, так и в теории Бранса — Дикке, однако в теории Бранса — Дикке существуют дополнительные волновые решения, имеющие геометрии, невозможные в ОТО.

Как и ОТО, теория Бранса — Дикке предсказывает гравитационное линзирование и прецессию перигелия планет, вращающихся вокруг Солнца. Однако точные формулы, описывающие эти эффекты в ней, зависят от значения константы связи ω. Это означает, что из наблюдений может быть получено значение нижней границы на возможные значения ω. В 2003 году в ходе эксперимента Кассини-Гюйгенс было показано, что ω должно превышать 40000.

Часто можно услышать, что теория Бранса — Дикке, в отличие от ОТО, удовлетворяет принципу Маха. Однако некоторые авторы утверждают, что это не так (особенно учитывая отсутствие консенсуса о том, что, собственно, представляет собой принцип Маха). Обычно утверждается, что ОТО может быть получена из теории Бранса — Дикке при $\omega \rightarrow \infty$. Однако Фараони (см. ссылки) утверждает, что такая точка зрения является упрощением. Утверждается так же, что только ОТО удовлетворяет сильному принципу эквивалентности.

Уравнения поля

Уравнения поля в теории Бранса — Дикке имеют следующий вид:

$\Box\phi = \frac{8\pi}{3+2\omega}T$,

$G_{ab} = \frac{8\pi}{\phi}T_{ab}+\frac{\omega}{\phi^2} (\partial_a\phi\partial_b\phi-\frac{1}{2}g_{ab}\partial_c\phi\partial^c\phi) +\frac{1}{\phi}(\nabla_a\nabla_b\phi-g_{ab}\Box\phi),$

где

• ω — безразмерная константа связи Бранса — Дикке,
• g_ab — метрический тензор,
• $G_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{2} R g_{ab}$ — тензор Эйнштейна,
• $R_{ab} = {R^{\,m}}_{a m b}$ — тензор Риччи, след тензора кривизны,
• $R = {R^{\,m}}_{m}$ — скаляр Риччи, след тензора Риччи,
• T_ab — тензор энергии-импульса,
• T — след T_ab,
• φ — скалярное поле,
• $\Box$ — оператор Лапласа — Бельтрами или ковариантный волновой оператор, $\Box \phi = \phi^{;a}_{\;\; ;a}$

Первое уравнение утверждает, что след тензора энергии-импульса является источником скалярного поля φ. Так как электромагнитное поле вносит вклад только в бесследовые члены тензора энергии-импульса, то в областях пространства, содержащих только электромагнитное поле (плюс гравитационное поле), правая часть выражения обращается в ноль и φ свободно проходит сквозь электровакуумный регион и φ удовлетворяет волновому уравнению (для искривлённого пространства). Это означает, что любые изменения в φ свободно распространяется через электровакуумную область; в этом смысле мы можем утверждать, что φ является дальнодействующем полем

Второе уравнение описывает, каким образом тензор энергии-импульса и скалярное поле φ совместно влияют на пространство-время. Слева тензор Эйнштейна может рассматриваться как средняя кривизна. Из математики следует, что в любой метрической теории тензор Римана может быть записан как сумма тензора Вейля (также называемого конформным тензором кривизны) плюс слагаемого, собираемого из тензора Эйнштейна.

Для сравнения, уравнения поля в общей теории относительности

G_ab = 8πT_ab.

Оно означает, что в ОТО кривизна Эйнштейна полностью определяется тензором энергии-импульса, а другое слагаемое, кривизна Вейля, соответствует части гравитационного поля, распространяющейся сквозь вакуум. А в теории Бранса — Дикке тензор Эйнштейна определяется частично непосредственно присутствующими энергией и импульсом, а частично дальнодействующим скалярным полем φ.

Уравнения поля в вакууме обоих теорий получаются при занулении тензора энергии-импульса. Они описывают ситуацию, когда все поля, кроме гравитационного, отсутствуют.

Действие

Лагранжиан, содержащий полное описание теории Бранса — Дикке, выглядит следующим образом:

$S=\frac{1}{16\pi}\int d^4x\sqrt{-g} \; \left(\phi R - \omega\frac{\partial_a\phi\partial^a\phi}{\phi} + \mathcal{L}_\mathrm{M}\right),$

где

• g — детерминант метрики,
• $\sqrt{-g} \, d^4 x$ — четырёхмерная форма объёма,
• $\mathcal{L}_\mathrm{M}$ — лагранжиан вещества.

Последнее слагаемое включает в себя вклад обычной материи и электромагнитного поля. В вакууме он обращается в ноль, и то, что остаётся, называется гравитационным слагаемым. Для того, что бы получить вакуумные уравнения, мы должны посчитать его вариации относительно метрики g_ab; это даст нам второе из уравнений поля. При расчёте же вариаций относительно скалярного поля φ мы получим первое из уравнений. Заметим что, в отличие от уравнений ОТО, слагаемое δR_ab / δg_cd не обнуляется, так как результат не является полным дифференциалом. Можно показать, что:

$\frac{\delta(\phi R)}{\delta g^{ab}} = \phi R_{ab} + g_{ab}g^{cd}\phi_{;cd} - \phi_{;ab}.$

Для того, что бы доказать это воспользуемся тем, что

$\delta (\phi R) = R \delta \phi + \phi R_{mn} \delta g^{mn} + \phi \nabla_s (g^{mn} \delta\Gamma^s_{nm} - g^{ms}\delta\Gamma^r_{rm} ).$

При вычислении δΓ в Римановых нормальных координатах 6 индивидуальных слагаемых оказываются равными нулю. Ещё 6 могут быть скомбинированы, используя теорему Стокса, что даёт (g_abg^cdφ_;cd − φ_;ab)δg^ab.

Для сравнения, в общей теории относительности лагранжиан имеет вид:

$S=\int d^4x\sqrt{-g} \; (\frac{R }{16\pi G} + \mathcal{L}_\mathrm{M}).$

Считая вариации гравитационного члена относительно g_ab, получаем полевые уравнения Эйнштейна в вакууме.

В обоих теориях полные полевые уравнения могут быть получены путём вариаций полного лагранжиана, так что они обладают действием.

Смотри также

• Классические теории гравитации
• Космология непрерывного рождения вещества, модификация теории Бранса — Дикке, позволяющая неминимально связанному скалярному полю взаимодействовать с веществом.

Ссылки и примечания

1. ↑ Brans, C. H.; Dicke, R. H. (1961). «Mach's Principle and a Relativistic Theory of Gravitation». Physical Review 124 (3): 925–935. DOI:10.1103/PhysRev.124.925.
2. ↑ Jordan, P. (1959). «Zum gegenwärtigen Stand der Diracschen kosmologischen Hypothesen». Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei 157 (1): 112–121. DOI:10.1007/BF01375155.

Внешние ссылки

Имеется викиучебник по теме
«Gravity»

• P. G. Bergmann (1968). «Comments on the scalar-tensor theory». Int. J. Theor. Phys. 1: 25. DOI:10.1007/BF00668828.
• R. V. Wagoner (1970). «Scalar-tensor theory and gravitational waves». Phys. Rev. D1: 3209.
• Gravitation. — San Francisco: W. H. Freeman, 1973. — ISBN 0-7167-0344-0
  См. Box 39.1.
• Was Einstein Right?: Putting General Relativity to the Test. — NY: Basic Books, 1986. — ISBN 0-19-282203-9
  Chapter 8: "The Rise and Fall of the Brans-Dicke Theory".
• Faroni, Valerio (1999). «Illusions of general relativity in Brans-Dicke gravity». Phys. Rev. D59: 084021.
  Также препринт в ArXiv.
• Cosmology in scalar-tensor gravity. — Boston: Kluwer, 2004. — ISBN 1-4020-1988-2
• Carl H. Brans, The roots of scalar-tensor theory: an approximate history. ArXiv. Проверено 14 июня 2005.

Теории гравитации
Стандартные теории гравитации	Альтернативные теории гравитации	Квантовые теории гравитации	Единые теории поля
Классическая физика Теория тяготения Ньютона Релятивистская физика Общая теория относительности Математическая формулировка общей теории относительности Гамильтонова формулировка общей теории относительности Принципы Принцип эквивалентности сил гравитации и инерции Принцип Маха Геометродинамика (англ.)	Классические Теория гравитации Лесажа Модифицированная ньютоновская динамика (англ.) Релятивистские Релятивистская теория гравитации Калибровочная теория гравитации Гравитация с массивным гравитоном Телепараллелизм Теория Нордстрёма Теория Бранса — Дикке Биметрические теории гравитации Несимметричные теории гравитации Теория гравитации Уайтхеда (англ.) Теория Эйнштейна — Картана (англ.)	Каноническая квантовая гравитация Петлевая квантовая гравитация Полуклассическая гравитация (англ.) Причинная динамическая триангуляция (англ.) Евклидова квантовая гравитация Уравнение Уилера — Девитта (англ.) Индуцированная гравитация (англ.) Некоммутативная геометрия (англ.)	Многомерные Общая теория относительности в многомерном пространстве Теория Калуцы — Клейна Струнные Теория струн Теория суперструн М-теория Прочие Исключительно простая теория всего