Гравитация с массивным гравитоном

Гравитация с массивным гравитоном — название класса теорий гравитации, в которых частица-переносчик взаимодействия (гравитон) предполагается массивной, примером является релятивистская теория гравитации. Характерная особенность таких теорий — проблема разрыва ван Дама — Вельтмана — Захарова (англ. vDVZ (van Dam-Veltman-Zakharov) discontinuity), то есть наличие конечной разности в предсказаниях предела такой теории при массе гравитона, стремящейся к нулю, и теории с безмассовой частицей с самого начала.

Проблемы массивного гравитона в линейном приближении

Основной источник: ^[1]

Общую теорию относительности в линеаризованном пределе можно сформулировать как теорию безмассового поля спина 2 на пространстве Минковского, описываемого симметричным тензором $h_{\mu\nu}$. Естественным обобщением такой теории является введение в лагранжиан массового члена различного вида. Чаще всего такой член выбирают в виде Паули — Фирца $m^2(h_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu}h)$, что как можно показать, наиболее естественно, однако возможен и другой выбор (типа $m^2(h_{\mu\nu} - \alpha\eta_{\mu\nu}h),\ \alpha\neq1$). При этом уравнения движения для гравитационного поля приобретают вид

$-\square h_{\mu\nu} + h^\lambda_{\mu,\lambda\nu} + h^\lambda_{\nu,\lambda\mu} - \eta_{\mu\nu}h^{\kappa\lambda}_{,\kappa\lambda} - h_{,\mu\nu} + \eta_{\mu\nu}\square h + m^2(h_{\mu\nu} - \alpha\eta_{\mu\nu}h) = \frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$

где индексы поднимаются и опускаются метрикой Минковского $\eta_{\mu\nu}$, $\square$ — оператор д'Аламбера, $G$ — гравитационная постоянная Ньютона, $T_{\mu\nu}$ — тензор энергии-импульса источников поля. Дивергенция этих уравнений в силу законов сохранения должна быть равна 0, что даёт $h_{\mu\nu}^{,\nu}=\alpha h_{,\mu}$ и после подстановки в уравнения и взятия следа

$2(\alpha-1)\square h + m^2(1-4\alpha)h = \frac{16\pi G}{c^4} T.$

Поэтому имеется две различные возможности: либо $\alpha=1$ — тогда след тензора $h = -\frac{16\pi G}{3c^4m^2} T$ не является динамической переменной теории, а всецело определяется следом источника $T$, либо $\alpha\neq1$ и $h$ — динамическая переменная. Первый случай даёт обоснование массовому члену Паули — Фирца, но приводит к следующему выражению для гравитационного поля

$\frac{c^4}{16\pi G}h_{\mu\nu}=\frac{1}{-\square+m^2}\left(T_{\mu\nu}-\frac13\eta_{\mu\nu}T\right) +\frac1{3m^2}\frac{1}{-\square+m^2}T_{,\mu\nu},$

где введено краткое обозначение $\frac{1}{-\square+m^2}$ для интегрального оператора, обратного дифференциальному $(-\square+m^2)$, в отличие от

$\frac{c^4}{16\pi G}h_{\mu\nu}=\frac{1}{-\square}\left(T_{\mu\nu}-\frac12\eta_{\mu\nu}T\right)$

в линеаризованной общей теории относительности. Таким образом, получаемая теория имеет две проблемы при $m\rightarrow 0$, выражающиеся в неправильной величине гравитационных эффектов от первого слагаемого (1/3 вместо 1/2), а также в стремлении второго из них к бесконечности. Первый отмеченный эффект и носит название разрыва ван Дама — Вельтмана — Захарова по именам первооткрывателей^[2][3]. В частности, из-за этого отклонение света в теории $m\rightarrow 0$ составляет 3/4 величины общей теории относительности, а прецессия перигелия — 2/3^[2].

Второй подход приводит к появлению новой динамической степени свободы, которая восстанавливает предсказания до нужного уровня, так как общее решение имеет вид

$\frac{c^4}{16\pi G}h_{\mu\nu}=\frac{1}{-\square+m^2}\left(T_{\mu\nu}-\frac13\eta_{\mu\nu}T\right)-\frac{1}{-\square+m_0^2}\frac16\eta_{\mu\nu}T +\frac{2\alpha-1}{2(1-\alpha)}\frac{1}{-\square+m^2}\frac{1}{-\square+m_0^2}T_{,\mu\nu},$

где $m_0^2=m^2\frac{4\alpha-1}{2(1-\alpha)}$, и при $m\rightarrow 0$ первый и второй член дают 1/3+1/6=1/2. Но при взаимодействии с материей второй член участвует со знаком, противоположным первому, так что он представляет собой скалярное поле отрицательной энергии (англ. ghostlike field), что вызывает нестабильность теории по отношению к перекачке в него энергии.

Вообще корень проблемы лежит в разложении массивного поля спина 2 по спиральностям и их взамодействии с веществом. При стремлении массы поля к нулю компоненты спиральности $\pm1$ отделяются от остальных, образуя независимое свободное безмассовое поле Максвелла, но компоненты спиральности $\pm2$ и $0$ остаются зацеплёнными и взаимодействуют с веществом совместно^[4]. Ситуацию можно решить добавлением ещё одного скалярного поля, но для восстановления корректного предела оно должно иметь отрицательную энергию, что опять-таки недопустимо в стабильной теории поля.

Более подробный разбор, не ограничивающийся линеаризованным приближением, проведён в работах ^[4][1].

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Thibault Damour, Ian I. Kogan , Antonios Papazoglou. (2003). «Spherically symmetric spacetimes in massive gravity». Physical Review D 67: 064009. DOI:10.1103/PhysRevD.67.064009. Проверено 2009-09-03.
2. ↑ ^{1 2} H. van Dam and M. Veltman. (1970). «Massive and mass-less Yang-Mills and gravitational fields». Nuclear Physics B 22 (2): 397-411. DOI:10.1016/0550-3213(70)90416-5. Проверено 2009-09-03.
3. ↑ В. И. Захаров. (1970). «Линеаризованная теория гравитации и масса гравитона». Письма в ЖЭТФ 12 (9): 447-449. Проверено 2009-09-03.
4. ↑ ^{1 2} David G. Boulware, S. Deser. (1972). «Can Gravitation Have a Finite Range?». Physical Review D 6 (12): 3368-3382. DOI:10.1103/PhysRevD.6.3368. Проверено 2009-09-03.

Теории гравитации
Стандартные теории гравитации	Альтернативные теории гравитации	Квантовые теории гравитации	Единые теории поля
Классическая физика Теория тяготения Ньютона Релятивистская физика Общая теория относительности Математическая формулировка общей теории относительности Гамильтонова формулировка общей теории относительности Принципы Принцип эквивалентности сил гравитации и инерции Принцип Маха Геометродинамика (англ.)	Классические Теория гравитации Лесажа Модифицированная ньютоновская динамика Релятивистские Релятивистская теория гравитации Калибровочная теория гравитации Гравитация с массивным гравитоном Телепараллелизм Теория Нордстрёма Теория Бранса — Дикке Биметрические теории гравитации Несимметричные теории гравитации Теория гравитации Уайтхеда (англ.) Теория Эйнштейна — Картана	Каноническая квантовая гравитация Петлевая квантовая гравитация Полуклассическая гравитация (англ.) Причинная динамическая триангуляция (англ.) Евклидова квантовая гравитация Уравнение Уилера — Девитта (англ.) Индуцированная гравитация (англ.) Некоммутативная геометрия (англ.)	Многомерные Общая теория относительности в многомерном пространстве Теория Калуцы — Клейна Супергравитация Струнные Теория струн Теория суперструн М-теория Прочие Исключительно простая теория всего