Теория теплоёмкости Эйнштейна

Статистическая физика

$S = k_B \, \ln\Omega$

Термодинамика Молекулярно-кинетическая теория

Статистики Максвелла-Больцмана Бозе-Эйнштейна · Ферми-Дирака Parastatistics · Anyonic statistics Braid statistics Ансамбли Микроканонический · Канонический Большой канонический Изотермо-изобарический Изоэнатльпи-изобарический Открытый Термодинамика Уравнение состояния · Цикл Карно · Закон Дюлонга — Пти Модели Модель Дебая · Эйнштейна · Модель Изинга Потенциалы Внутренняя энергия · Энтальпия Свободная энергия Гельмгольца потенциал Гиббса · Большой термодинамический потенциал Известные учёные Максвелл · Гиббс · Больцман

См. также: Портал:Физика

Квантовая теория теплоёмкостей Эйнштейна была создана Эйнштейном в 1907 году при попытке объяснить экспериментально наблюдаемую зависимость теплоёмкости от температуры.

При разработке теории Эйнштейн опирался на следующие предположения:

• Атомы в кристаллической решетке ведут себя как гармонические осцилляторы, не взаимодействующие друг с другом.
• Частота колебаний всех осцилляторов одинакова.
• Число осцилляторов в 1 моле вещества равно $3 N_a$, где $N_a$ — число Авогадро.
• Энергия их квантована: $~\varepsilon = n \hbar \omega$ , $~n \in N$
• Число осцилляторов с различной энергией определяется распределением Больцмана: $~ N = N_0 \exp \left\{ -{\hbar \omega \over k T} n \right\}$

Внутренняя энергия 1 моля вещества:

$\bar{U}_\mu = 3 \bar{\varepsilon} N_a$.

$\bar{\varepsilon}$ находится из соотношения для среднего значения:

$\bar{\varepsilon} = \sum^{\infty}_{n=0} {\varepsilon_n N \over N_0}$

и составляет:

$\bar{\varepsilon} = {\hbar \omega \over \exp \left\{ {\hbar\omega \over kT} \right\}-1 }$,

отсюда:

$\bar{U}_\mu = 3 N_a \hbar \omega{ 1 \over \exp \left\{ {\hbar\omega \over kT} \right\}-1 }$.

Определяя теплоёмкость как производную внутренней энергии по температуре, получаем окончательную формулу для теплоёмкости:

$C = {dU \over dT } = 3 R \left( {\hbar \omega \over kT } \right) ^2 { \exp \left\{ {\hbar\omega \over kT} \right\} \over \left( \exp \left\{ {\hbar\omega \over kT} \right\}-1 \right)^2 }$.

Согласно модели, предложенной Эйнштейном, при абсолютном нуле температуры теплоёмкость стремится к нулю, при больших температурах, напротив, выполняется закон Дюлонга — Пти. Величина $\theta_E={\hbar \omega \over k }$ иногда называется температурой Эйнштейна.

Недостатки теории

Расхождение теорий Эйнштейна и Дебая

Теория Эйнштейна, однако, недостаточно хорошо согласуется с результатами экспериментов в силу неточности некоторых предположений Эйнштейна, в частности, предположения о равенстве частот колебаний всех осцилляторов. Более точная теория была создана Дебаем в 1912 году.

См. также

• Модель Дебая
• Закон Дюлонга — Пти
• Закон Джоуля — Коппа

Источники

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Т. II. Термодинамика и молекулярная физика.