Гильберт, Давид

В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Гильберт.

Давид Гильберт
David Hilbert
Дата рождения:	23 января 1862(1862-01-23)
Место рождения:	Велау, Пруссия
Дата смерти:	14 февраля 1943(1943-02-14) (81 год)
Место смерти:	Гёттинген, Германия
Страна:	Германская империя  Веймарская республика  Третий рейх
Научная сфера:	Математика
Место работы:	Гёттингенский университет
Альма-матер:	Кёнигсбергский университет
Известен как:	Основания математики Функциональный анализ Проблемы Гильберта

Дави́д Ги́льберт (нем. David Hilbert; 23 января 1862 — 14 февраля 1943) — немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. В 1910—1920-е годы (после смерти Анри Пуанкаре) был признанным мировым лидером математиков.

Биография

Родился в семье судьи Отто Гильберта, в городке Велау близ Кёнигсберга в Пруссии (после второй мировой войны — российский посёлок Знаменск Калининградской области). В семье, кроме Давида, была ещё дочь.

В 1880 году закончил гимназию Вильгельма (Wilhelm Gymnasium). Далее, в том же году, Гильберт поступил в Кёнигсбергский университет, где подружился с Германом Минковским и Адольфом Гурвицем. Вместе они часто совершали долгие «математические прогулки», где деятельно обсуждали решение научных проблем; позднее Гильберт узаконил такие прогулки как неотъемлемую часть обучения своих студентов^[1].

В 1885 году Гильберт защитил диссертацию по теории инвариантов, научным руководителем которой был Линдеман, а в следующем году стал профессором математики в Кёнигсберге. В ближайшие несколько лет фундаментальные открытия Гильберта в теории инвариантов выдвинули его в первые ряды европейских математиков.

Давид Гильберт в 1886 г.

В 1892 году женился на Кэте Ерош (Käthe Jerosch, 1864—1945). В следующем году родился их единственный сын, Франц (1893—1969), оказавшийся душевнобольным^[2].

В 1895 году по приглашению Феликса Клейна Гильберт переходит в Гёттингенский университет. На этой должности он оставался 35 лет, фактически до конца жизни.

Среди прямых учеников Гильберта в Гёттингене были Эрнст Цермело, Герман Вейль, Джон фон Нейман, Рихард Курант, Гуго Штейнгауз, шахматный чемпион Эммануил Ласкер и другие. Намного больше круг учёных, которые считали себя его учениками, в их числе, например, Эмми Нётер и Алонзо Чёрч.

В 1897 году выходит капитальная монография «Zahlbericht» («Отчёт о числах») по теории алгебраических чисел.

В 1900 году на Втором Международном математическом конгрессе Гильберт формулирует знаменитый список 23 нерешённых проблем математики, послуживший направляющим указателем приложения усилий математиков на протяжении всего XX века.

С 1902 года Гильберт — редактор самого авторитетного математического журнала «Mathematische Annalen».

В 1910-х годах Гильберт создаёт в современном виде функциональный анализ, введя понятие, получившее название гильбертова пространства. Одновременно он консультирует Эйнштейна и помогает ему в разработке четырёхмерного тензорного анализа, послужившего фундаментом для Общей теории относительности.

В 1920-х годах Гильберт и его школа сосредоточили усилия на построении аксиоматического обоснования математики.

Могила Гильберта в Геттингене. На ней высечен его любимый афоризм:
WIR MÜSSEN WISSEN
WIR WERDEN WISSEN
(«Мы должны знать. Мы будем знать»)

В 1930 году, в соответствии с уставом университета, 68-летний Гильберт ушёл в отставку, хотя время от времени читал лекции студентам. Последнюю лекцию в Гёттингене Гильберт прочитал в 1933 году.

После прихода национал-социалистов к власти в Германии жил в Гёттингене в стороне от университетских дел. Многие его коллеги, имевшие недостаточно арийских предков или родственников, были вынуждены эмигрировать. Однажды Бернхард Руст, нацистский министр образования, спросил Гильберта: «Как теперь математика в Гёттингене, после того как она освободилась от еврейского влияния?» Гильберт уныло ответил: «Математика в Гёттингене? Её больше нет» (нем. …das gibt es doch gar nicht mehr)^[3].

Умер Гильберт 14 февраля в военном 1943 году в Гёттингене. За его гробом шло всего около десятка человек. Похоронен на городском кладбище Гёттингена Groner Landstrasse.

Научная деятельность

Исследования Гильберта оказали большое влияние на развитие многих разделов математики, а его деятельность в Гёттингенском университете в значительной мере содействовала тому, что Гёттинген в первой трети XX века являлся одним из основных мировых центров математической мысли. Диссертации большого числа крупных математиков (среди них Г. Вейль, Р. Курант) были написаны под его научным руководством.

Научная биография Гильберта отчётливо распадается на периоды, посвящённые работе в какой-либо одной области математики:

• Теория инвариантов (1885—1893).
• Теория алгебраических чисел (1893—1898).
• Основания геометрии (1898—1902).
• Принцип Дирихле (математическая физика) и примыкающие к нему проблемы вариационного исчисления и дифференциальных уравнений (1900—1906).
• Теория интегральных уравнений (1902—1912).
• Решение проблемы Варинга в теории чисел (1908—1909).
• Математическая физика (1910—1922).
• Основания математики (1922—1939).

Математика

В теории инвариантов исследования Гильберта явились завершением периода бурного развития этой области математики во второй половине XIX века. Им доказана основная теорема о существовании конечного базиса системы инвариантов. Работы Гильберта по теории алгебраических чисел преобразовали эту область математики и стали исходным пунктом её последующего развития. В своём классическом обзоре он дал глубокое и содержательное изложение данного материала. Усилиями немецких математиков — Дирихле, Куммера, Кронекера, Дедекинда, затем Нётер и Минковского — была создана законченная теория делимости для числовых полей, основанная на понятиях идеала и простого идеала. Однако открытым оставался вопрос, что происходит с простым идеалом поля при включении его в «надполе», и в связи с этой трудной проблемой Гильберт ввел ряд важных новых понятий, сформулировал и частично доказал основные относящиеся сюда результаты. Полное их доказательство и дальнейшее развитие стало делом некоторых из самых выдающихся его последователей.

В развитии теории алгебраических полей фундаментальную роль сыграла монография Гильберта «Теория полей алгебраических чисел», на десятилетия ставшая основой последующих исследований по этой теме. Среди собственных открытий Гильберта выделяется его развитие теории Галуа, в том числе важная «90-я теорема».

Данное Гильбертом решение проблемы Дирихле положило начало разработке так называемых прямых методов в вариационном исчислении.

Построенная Гильбертом теория интегральных уравнений с симметричным ядром составила одну из основ современного функционального анализа и особенно спектральной теории линейных операторов.

Гильберт сразу показал себя убеждённым сторонником канторовской теории множеств и защищал её от критики многочисленных противников. Он говорил: «Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором». Сам Гильберт, впрочем, эту область не разрабатывал, хотя косвенно затрагивал в трудах по функциональному анализу.

Обоснование математики

Классические «Основания геометрии» Гильберта (1899) стали образцом для дальнейших работ по аксиоматическому построению геометрии. Хотя идея построения модели одной математической структуры на базе другой использовалась и до Гильберта (например, У. Р. Гамильтоном), только Гильберт реализовал её с исчерпывающей полнотой. Он не только дал полную аксиоматику геометрии, но также детально проанализировал эту аксиоматику, доказав (построив ряд остроумных моделей) независимость каждой из своих аксиом.

К 1922 году у Гильберта сложился значительно более обширный план обоснования всей (или хотя бы значительного, общепринятого фрагмента) математики путём её полной формализации с последующим «метаматематическим» доказательством непротиворечивости формализованной математики. Для осуществления этой программы Гильберт разработал строгую логическую теорию доказательств, продолжая работы Фреге с помощью которой непротиворечивость математики свелась бы к доказательству непротиворечивости арифметики. При этом Гильберт использовал только общепризнанные логические средства (логику первого порядка). Его программа оказалась невыполнимой, как впоследствии установил К. Гёдель, хотя послужила значительным стимулом к развитию логики.

Два тома «Оснований математики», написанных Гильбертом совместно с П. Бернайсом, в которых эта концепция подробно развивается, вышли в 1934-м и 1939-м годах. Первоначальные надежды Гильберта в этой области не оправдались: проблема непротиворечивости формализованных математических теорий, как показал Курт Гёдель (1931), оказалась глубже и труднее, чем Гильберт предполагал сначала. Но вся дальнейшая работа над логическими основами математики в большой мере идёт по пути, намеченному Гильбертом, и использует созданные им концепции.

Считая с логической точки зрения необходимой полную формализацию математики, Гильберт в то же время верил в силу творческой математической интуиции. Он был большим мастером в высшей степени наглядного изложения математических теорий. В этом отношении замечательна «Наглядная геометрия», написанная Гильбертом совместно с С. Кон-Фоссеном. Вместе с тем Гильберт был решительным противником попыток интуитивистов ввести ограничения на математическое творчество (например, запретить теорию множеств, аксиому выбора или даже закон исключённого третьего). Эта позиция породила в научной среде дискуссию, в ходе которой теорию доказательств Гильберта (особенно после работ Гёделя) часть математиков обвиняла в бессодержательности и называли пустой игрой с формулами.

Для творчества Гильберта характерны уверенность в неограниченной силе человеческого разума, убеждение в единстве математической науки и единстве математики и естествознания. Собрание сочинений Гильберта, изданное под его наблюдением (1932—1935), кончается статьёй «Познание природы», а эта статья — лозунгом «Мы должны знать — мы будем знать» (Wir müssen wissen. Wir werden wissen.).

Физика

В физике Гильберт был сторонником строгого аксиоматического подхода, и считал, что после аксиоматизации математики необходимо будет проделать эту процедуру с физикой.

Наиболее известным вкладом Гильберта в физику является вывод уравнений Эйнштейна — основных уравнений общей теории относительности, проведённый им в ноябре 1915 года практически одновременно с Эйнштейном (см. об этом: Гильберт и уравнения гравитационного поля). Фактически Гильберт первым получил правильные уравнения поля общей теории относительности, хотя опубликовал их позже. Кроме того, неоспоримо существенное влияние Гильберта на Эйнштейна в период их параллельной работы над выводом этих уравнений (оба находились в этот период в интенсивной переписке).

Независимо от вопроса о приоритете, Гильберт первым использовал при выводе этих уравнений вариационный метод, ставший впоследствии одним из основных в теоретической физике. Очевидно, это был первый в истории физики случай, когда неизвестные до этого уравнения фундаментальной теории были получены таким путем (по крайней мере, если говорить о подтвердившихся теориях).

Представляет интерес также следующий случай: в 1926 году после создания матричной квантовой механики Макс Борн и Вернер Гейзенберг решили проконсультроваться у Гильберта, существует ли область математики, в которой применялся бы подобный формализм. Гильберт ответил им, что с похожими матрицами он встречался, когда разбирал вопросы существования решений дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных. Физикам показалось, что математик их не понял, и они решили не изучать далее этот вопрос. Менее чем через полгода Эрвин Шрёдингер создал волновую квантовую механику, основное уравнение которой — уравнение Шрёдингера, является уравнением второго порядка в частных производных, и доказал эквивалентность обоих подходов: старого матричного и нового волнового.

Оценки и личные качества

Герман Вейль так оценил роль Давида Гильберта в математике^[4]:

Наше поколение не выдвинуло ни одного математика, который мог бы сравниться с ним… Пытаясь разглядеть сквозь завесу времени, какое будущее нам уготовано, Гильберт поставил и рассмотрел двадцать три нерешённые проблемы, которые… действительно сыграли важную роль в развитии математики на протяжении последующих сорока с лишним лет. Любой математик, решивший одну из них, занимал почётное место в математическом сообществе.

Современники вспоминают Гильберта как человека жизнерадостного, чрезвычайно общительного и доброжелательного, отмечают его исключительное трудолюбие и научный энтузиазм.

См. также

• Аксиоматика Гильберта
• Гильбертов кирпич
• Гильбертово пространство
• Континуум-гипотеза
• Неполнота математики
• Преобразование Гильберта
• Проблемы Гильберта
• Теорема Гильберта 90
• Теорема Гильберта о базисе
• Теорема Гильберта о сизигиях
• Теорема Гильберта о нулях
• Теорема Гильберта-Шмидта

Награды и почести

• Премия имени Н. И. Лобачевского (1903), Казанское физико-математическое общество.
• Премия Бойяи (1910), Венгерская академия наук.
• Почётный гражданин Кёнигсберга (1930).
• В честь учёного названа улица в Геттингене (Гильбертштрассе).

Был избран иностранным членом многих Академий наук.

Примечания

1. ↑ Стиллвелл Д. Математика и её история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, стр. 413—415.
2. ↑ Констанс Рид, 1977, Глава XVII
3. ↑ Констанс Рид, 1977, Глава XVIII
4. ↑ Вейль, 1989, с. 215, 220.

Труды в русском переводе

• Гильберт Д. Избранные труды: в 2 т. // Под ред. А. Н. Паршина. — М.: Факториал, 1998. — ISBN 5-88688-028-3
  • Т. 1: Теория инвариантов. Теория чисел. Алгебра. Геометрия. Основания математики. — 575 с. — ISBN 5-88688-029-1.
  • Т. 2: Анализ. Физика. Проблемы Гильберта. Personalia. — 607 с. — ISBN 5-88688-039-5 (ошибоч.).
• Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. — Серия: Классики естествознания.
• Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М.: Издательская группа URSS, 2010, 304 с. ISBN 978-5-484-01144-5.
• Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. М.: Наука.
  • Том I. Логические исчисления и формализация арифметики. 1979, 560 c.
  • Том II. Теория доказательств. 1982, 656 с.
• Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия, М.-Л., ОНТИ, 1936. — 304 с. Переиздание: Гостехиздат (1951), Едиториал УРСС (2010).
• Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Том I, 1933. Том II, 1945.

Литература

	Давид_Гильберт в Викицитатнике?
	Category:David Hilbert на Викискладе?

• Вейль Г. Давид Гильберт и его математическое творчество. // Математическое мышление. — М.: Наука, 1989. — С. 214—256. — ISBN 5-02-013910-6
• Визгин В. П. Релятивистская теория тяготения (истоки и формирование. 1900—1915 гг.). — М.: Наука, 1981. 352 с.
• Констанс Рид. Гильберт. — М.: Наука, 1977.
• Паршин А. Н. Давид Гильберт и теория инвариантов // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1975. — № 20. — С. 171—197.

Ссылки

• Статья «Гильберт Давид» в БСЭ
• Биография в архиве Mac Tutor  (англ.)