Тензорный анализ

Тензорный анализ — обобщение векторного анализа, раздел тензорного исчисления, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре тензорных полей $D(M)$ дифференцируемого многообразия $M$. Рассматриваются также операторы, действующие на более общие, чем тензорные поля, геометрические объекты: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении и т. д.

Наибольший интерес представляют операторы, действие которых не выводит за пределы алгебры $D(M)$.

1) Ковариантная производная вдоль векторного поля $X$ — линейное отображение $\nabla_X$ пространства векторных полей $D^1(M)$ многообразия $M$, зависящее от векторного поля $X$ и удовлетворяющее условиям:

$\nabla_fX+{}_{gV}Z=f\nabla_XZ,$

$\nabla_X(fZ)=f\nabla_XZ+(Xf)Y,$

где $X$, $Y$, $Z\in D'(M)$, $f$, $g$ — гладкие функции на $M$. Определяемые этим оператором связность $\Gamma$ и параллельное перенесение позволяют распространить действие ковариантной производной до линейного отображения алгебры $D(M)$ в себя; при этом отображение $\nabla X$ есть дифференцирование, сохраняет тип тензорного поля и перестановочно со сверткой.

В локальных координатах $u^1,\;u^2,\;\ldots,\;u^n$ ковариантная производная тензора с компонентами $T\left(T^{i_1\ldots{i_l}}_{j_1\ldots{j_m}}\right)$ относительно вектора $X=\xi^i\frac{\partial}{\partial u^i}$ определяется как:

$\nabla_XT=\xi^s\left(\frac{\partial T^{i_1\ldots i_l}_{j_1\ldots m}}{\partial u^s}+\Gamma^{i_1}_{k_s}T^{k\ldots i_l}_{j_1 \ldots j_m}+\ldots-\Gamma^k_{j_{i,s}}T^{i_1\ldots i_l}_{k\ldots j_m}\right),$

$\Gamma^i_{ks}$ — объект связности $\Gamma$.

2) Производная Ли вдоль векторного поля $X$ — отображение $L_X$ пространства $D'(M)$, определяемое формулой $L_X:Y\to[X,\;Y]$, где $[X,\;Y]$ — коммутатор векторных полей $X$, $Y$. Этот оператор также однозначно продолжается до дифференцирования $D(M)$, сохраняет тип тензоров и перестановочен со свёрткой. В локальных координатах производная Ли тензора $T\left(T^{i_1\ldots{i_l}}_{j_1\ldots{j_m}}\right)$ выражается так:

$L_X T=\xi^k\frac{\partial T^{i_1\ldots i_l}_{j_1\ldots j_m}}{\partial u^k}+T^{i_1\ldots i_l}_{k\ldots j_m}\frac{\partial\xi^k}{\partial u^i}+\ldots-T^{k\ldots i_l}_{j_1\ldots j_m}\frac{\partial\xi^{i_1}}{\partial u^k}-\ldots$

3) Внешний дифференциал (внешняя производная) — линейный оператор $d$, сопоставляющий внешней дифференциальной форме (кососимметричному ковариантному тензору) степени $p$ форму такого же вида и степени $p+1$, удовлетворяющий условиям:

$d(\omega_1\wedge\omega_2)=d\omega_1\wedge\omega_2+(-1)^r\omega_1\wedge d\omega_2,\quad d(d\omega)=0,$

где $\wedge$ — символ внешнего произведения, $r$ — степень $\omega_1$. В локальных координатах внешняя производная тензора $\omega\langle\omega_{i_1\ldots i_p}\rangle$ выражается так:

$d\omega=\sum_{n=0}^\infty(-1)^k\frac{\partial\omega_{i_1\ldots\hat i_k\ldots i_{p+1}}}{\partial u^{i_k}}.$

Оператор $d$ — обобщение оператора $\mathrm{rot}$.

4) Тензор кривизны симметричного невырожденного дважды ковариантного тензора $g_{if}$ представляет собой действие некоторого нелинейного оператора $R$:

$g_{if}\to R^s_{mlk}=\frac{\partial\Gamma^s_{km}}{\partial u^l}-\frac{\partial\Gamma^s_{kl}}{\partial u^m}+\sum_p(\Gamma^s_{lp}\Gamma^p_{km}-\Gamma^s_{mp}\Gamma^p_{kl}),$

где

$\Gamma^i_{jk}=\frac{1}{2}g^{is}\left(\frac{\partial g_{js}}{\partial u^k}+\frac{\partial g_{ks}}{\partial u^s}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^s}\right).$