- Теорема Гильберта-Шмидта
-
Теорема Гильберта-Шмидта
Теоре́ма Ги́льберта-Шми́дта распространяет на вполне непрерывные симметричные операторы в гильбертовом пространстве известный факт о приведении матрицы самосопряженного оператора в конечномерном евклидовом пространстве к диагональной форме в некотором ортонормированном базисе.
Содержание
Формулировка теоремы
Для любого вполне непрерывного симметричного оператора A в гильбертовом пространстве H существует ортонормированная система {xi} собственных элементов, соответствующих собственным значениям {λn} оператора A, такая, что для любого имеет место представление
причем суммирование может быть как конечным, так и бесконечным рядом в зависимости от числа собственных элементов оператора A. Если их бесконечное число, то .
Теорема Гильберта-Шмидта для интегральных операторов
Теорема Гильберта-Шмидта может быть использована для решения неоднородного интегрального уравнения с непрерывным (а также слабо полярным) эрмитовым ядром.
Для интегрального оператора , теорема переформулируется так: если функция f(x) истокообразно представима через эрмитово непрерывное ядро K(x,y) (т.е. , такая, что f(x) = (Kg)(x)), то ее ряд Фурье по собственным функциям ядра K(x,y) сходится регулярно на G к этой функции:
где и есть собственные функции ядра, соответствующие собственным значениям λk.
См. также
Литература
В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5
Wikimedia Foundation. 2010.